保向量起终点和参数方向，再以曲线方程筛选允许点。

01 · 知识点概念、理由与条件02 · 考点方法与完整例题03 · 坑点边界与错因

一、知识点 理解概念

1. 按方向移项，零系数另查

向量 $\overrightarrow{MA}=t\overrightarrow{BM}$ 是 $A-M=t(M-B)$，故 $(1+t)M=A+tB$。当 $t\ne-1$，有 $M=(A+tB)/(1+t)$。$t=-1$ 时原式等价于 $A=B$：两点不同则无解，重合则任意 $M$ 都满足此式，须用其它条件确定。

$BM$ 与 $MB$ 方向相反，不能擅换。模相等只给长度相同，比向量相等弱，不能互相替代。

2. 参数正负决定方向，零向量不定义射线

以 $O$ 为原点，$\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OM}$ 给 $P=\lambda M$。$M\ne O$ 时，正参数在朝 $M$ 的射线上，负参数在反向，零参数给 $O$；整直线才允许任意实数。

$M=O$ 时 $P=O$，不能讨论零向量方向。中心原点的真椭圆不经过 $O$，此情况没有曲线上的点。

二、考点 方法与例题

1. 分点坐标代曲线，再筛原范围

按终点减起点写向量，移项前后核所除系数非零。把 $P$ 坐标代入真椭圆，$a,b>0$ 才可约半轴平方；有正负根时按原参数范围筛选，再双回代向量与曲线。目标若是长度，最后取模并保几何定义域。

例题 01 顶点分点与射线上的椭圆点

椭圆$C:\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1\left( a>b>0\right)$的右顶点为A，上顶点为$B$，$\vec{MA}=2\vec{BM}$，点$P$为椭圆$C$上一点且$\vec{OP}=\lambda \vec{OM}\left( \lambda >0\right)$，则$\lambda$的值为（    ）

A．$\frac{3\sqrt{5}}{5}$ B．$\frac{4\sqrt{5}}{5}$ C．$\frac{3}{2}$ D．2

答案与解析

$A=(a,0),B=(0,b)$，设 $M=(x_0,y_0)$。向量式给 $(a-x_0,-y_0)=2(x_0,y_0-b)$，即 $3M=A+2B$，故 $M=(a/3,2b/3)\ne O$。

由位置向量关系得 $P=(\lambda a/3,2\lambda b/3)$。代入椭圆，并用 $a,b>0$ 合法约分，得到 $\lambda^2/9+4\lambda^2/9=1$，所以 $\lambda=\pm3/\sqrt5$。原题 $\lambda>0$，只留 $3\sqrt5/5$，选 A；负根在反向射线上。

回代 $P=(a/\sqrt5,2b/\sqrt5)$，曲线左侧为 $1/5+4/5=1$，且 $A-M=(2a/3,-2b/3)=2(M-B)$，原条件同时成立。B、C、D 的参数平方为 $16/5,9/4,4$，均非 $9/5$。

三、坑点 辨析与纠错

1. 长度比例不能代替向量方向

把 $BM$ 写成 $MB$ 会改变分点位置。先写坐标差，不凭图上比例猜内外分。

2. 两个代数根不一定都允许

曲线与直线有两个反向交点，不代表都在指定射线。平方后须核原参数；$M=O$、$t=-1$ 及半轴为零等情况须先分类，不能先除再忘。

上一页椭圆中的定点、定值与定直线

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