先看样本范围的走势和符号，再核模型参数、定义域；中心性质不能跨坐标照搬。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

形状、符号、定义域一起看

散点图反映观测范围的总体走势，不是无误差精确函数表。先看上升/下降、速度大致恒定还是先快后慢、有无拐弯，再连同参数符号核候选，不能只看函数名称。

候选	条件与可描述的形状
$a+bx$	恒定预测变化，增减由 $b$ 符号决定
$a+b\ln x$	$x>0$；$b>0$ 时递增且增长放缓，可平移跨零
$a x^b$、$a e^{bx}$	在 $x>0$ 的相应定义下，正因子使预测符号由固定 $a$ 决定
$k a^x+b$	$k>0,0<a<1$ 时递减并趋近 $b$，不同于直线恒速下降
$c+d\sqrt{x}$	$x\ge0$，不能带负输入作实数预测

具体形状可由多种模型近似，题设选项、参数和范围共同决定当前判断；对 $a e^{bx}$，当 $a>0,b>0$ 时递增且增长加快；当 $a>0,b<0$ 时递减并趋于0，若再加固定平移量则趋于相应固定水平，不能一概说增长。未知变换参数需先估或固定，不能假装已有整列解释数据。

中心性质先注明坐标

已固定 $u_i=g(x_i)$ 的普通含截距OLS直线，经过 $(\bar u,\bar y)$。通常 $\bar u=\overline{g(x)}\ne g(\bar x)$，仿射 $g(x)=cx+d$ 可保证与平均交换。

若变换后斜率非零，原曲线到达 $\bar y$ 的输入须满足 $g(x_*)=\bar u$，并核存在性及一一对应性；原坐标不直接用 $\bar u$。对于固定 $0<a<1$，$x_*=\ln\bar u/\ln a$；对于 $u=\ln x$，$x_*=e^{\bar u}$。斜率0时曲线恒为均值，合法输入都对应它。

考点

选类型不捏造坐标

1. 在观测范围判断走势，核输入与响应符号。
2. 逐项检查定义域、值域、参数约束，区别固定参数与待估参数。
3. 只问类型就给该层面结论；精确拟合需题给数据与残差，不从无刻度图编数据。
4. 图与汇总表冲突时分清各自用于什么，说明矛盾，不擅改原图或统计表。
5. 涉中心时先写使用哪个坐标平面，再决定是否需反变换。

例题 01 从散点与选项选择类型

题目

若两个变量的散点图如图，可考虑用如下函数进行拟合比较合理的是（    ）

  

A．$y=a\cdot {x}^{b}$ B．$y=a\cdot {e}^{bx}$ C．$y=a+b\ln x$ D．$y=a\cdot {e}^{\frac{b}{x}}$

答案与解析

解析

选C。图上 $x>0$，观测响应既有负值也有正值，整体上升。在给出的四种类型中，C允许平移跨过0，可描述这种趋势。

A中 $x^b>0$，B中 $e^{bx}>0$，D中 $e^{b/x}>0$，所以固定 $a$ 下这些模型的预测值同号（$a=0$ 则全0），不能用其曲线本身描出跨零趋势。C的 $a+b\ln x$ 可通过截距平移跨零，$b>0$ 时上升。

这是题设候选中的类型辨析，不是证明其他模型在任何噪声、误差准则下都不能作近似拟合。该图没有足够精确刻度求参数，不能凭图编出 $a,b$；选择后仍须用数据与残差评价，且 $x>0$。

本题结论

C

例题 02 茶水冷却的模型辨析

题目

中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关为了建立茶水温度$y$随时间$x$变化的函数模型，小明每隔$1$分钟测量一次茶水温度，得到若干组数据$\left( {x}_{1},{y}_{1}\right)$、$\left( {x}_{2},{y}_{2}\right)$、$\cdots$、$\left( {x}_{n},{y}_{n}\right)$，绘制了如图所示的散点图．小明选择了如下$2$个函数模型来拟合茶水温度$y$随时间$x$的变化情况，函数模型一：$y=kx+b\left( k<0,x\ge 0\right)$；函数模型二：$y=k{a}^{x}+b\left( k>0,0<a<1,x\ge 0\right)$，下列说法不正确的是（    ）

原题配图

A．变量$y$与$x$具有负的相关关系

B．由于水温开始降得快，后面降得慢，最后趋于平缓，故模型二能更好的拟合茶水温度随时间的变化情况

C．若选择函数模型二，利用最小二乘法求得到$y=k{a}^{x}+b$的图象一定经过点$\left( \overline{x},\overline{y}\right)$

D．当$x=5$时，通过函数模型二计算得$y=65.1$，用温度计测得实际茶水温度为$65.2$，则残差为$0.1$

答案与解析

解析

选C。A按整体下降趋势判断负相关。B的 $k>0,0<a<1$ 给 $a^x$ 随 $x$ 递减、趋0，故模型二递减并趋向 $b$，可描述先快后慢的形状；这是图示范围内的初选，不证明未来都符合。

D的残差为观测减预测，$65.2-65.1=0.1$ ℃，正确。

C不能把普通直线的原样本均值性质直接套到非线性曲线。先固定 $a$ 后令 $u_i=a^{x_i}$，则拟合直线 $\hat y=\hat k u+\hat b$ 在 $(u,y)$ 平面过 $(\bar u,\bar y)$；回到 $(x,y)$ 平面，对应输入为 $x_*=\ln\bar u/\ln a$，既不是直接取 $\bar u$，也不必等于 $\bar x$。“经过 $(\overline{a^x},\bar y)$”只适用于注明了新坐标的直线，不能作为原曲线上的点。

一个严格反例：取 $a=1/2,k=1,b=1$，每分钟观测 $x=0,1,2$，响应恰为 $2,3/2,5/4$。这条曲线SSE为0，当然达到最小值；而 $\bar x=1,\bar y=19/12$，曲线在1处给 $3/2\ne19/12$。故即使完美拟合，原均值点也不必在曲线上。

若 $a$ 未知，不能把 $u=a^x$ 当一列预先已知数据，一次线性公式求全体参数；须给定或另估 $a$，或作非线性拟合。本题只辨性质，不要求估计三个参数。

本题结论

C

变换平均的完整应用

逐小时人流题保留完整题干与选项：平均五个对数，而不是对平均序号取对数，再按实际时刻编码预测。

坑点

中心记号必须带坐标语境

变换均值不是原横坐标，反解可能需要额外定义域条件。只知道原列平均通常也不能得到变换平均；未知参数的变换更不能直接作已知列。

类型判断不是精确事实保证

图示形状支持选择，不替代真实数据和残差检查。图表冲突应指出各自的计算口径，不能重画让它们看起来吻合。

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