复数乘除的几何意义：旋转、伸缩与方向差

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乘法模相乘、角相加，除法模相除、角相减。相加后的角只是一个辐角，主值还要归一；旋转后的重合条件则要写成真正的新位置相等。

一、知识点概念与依据

1. 乘法公式来自代数展开与和角公式

设非零z₁、z₂的模为r₁、r₂>0，辐角为θ₁、θ₂。展开乘积，实部为r₁r₂(cosθ₁cosθ₂−sinθ₁sinθ₂)，虚部为r₁r₂(sinθ₁cosθ₂+cosθ₁sinθ₂)。用和角公式得

z_1z_2=r_1r_2[\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2)].

长度相乘，方向角相加；这是乘法的规则，不是复数加法的规则。两主值之和可能超出[0,2π)，要另减整周才是积的主值。

原资料乘法示意。图中Z表示乘积对应点；角相加与模相乘是两项独立规则。

2. 除法先求逆，方向因此相减

z₂≠0时，逆数为(1/r₂)(cosθ₂−i sinθ₂)：与z₂相乘，利用cos²θ₂+sin²θ₂=1得到1。把负正弦写成角−θ₂，再用乘法规则：

\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2)].

除法存在只要求除数z₂≠0，不要求z₁、z₂不同。相同非零复数可相除得1；两个数不同也不能保证除数不为0。所附知识库记录的原资料条件曾误写成“两数不同”，应以除数非零为准。

原资料除法示意。图中θ₁<θ₂，商的方向差为负角；求主值时可再加2π。

3. 固定乘数对应绕原点的旋转伸缩

设q=s(cosα+i sinα)，s>0。映射z↦qz把非零位置向量绕原点旋转α，再把长度变为s倍；α正为逆时针，负为顺时针。s=1时是纯旋转，除以q则转−α、长度变1/s倍。

两操作都围绕同一原点，顺序可交换。绕其它中心c时，应先平移到原点、再操作、再平移回去，结果为c+q(z−c)，不能只乘q。

z=0仍被非零q映为0，但无输出方向可谈；q=0把所有点压到原点，不是上述非退化旋转伸缩，且除以0不成立。

4. 共轭、倒数、平方分别怎样改变方向

非零z的操作	模	一个辐角
共轭	r	−θ
倒数	1/r	−θ
平方	r²	2θ
共轭后再取倒数	1/r	θ

按实际顺序逐步变换，最后再归一角或判断象限。模表示非负长度，不因顺时针旋转而加负号。角区间端点是否允许，决定是否出现轴上点。

5. 两向量夹角取方向差，不取乘法的角和

对两个非零向量，先将方向差化到[0,2π)中的δ，再取δ与2π−δ中较小者，得到[0,π]中的夹角。不能直接把两个主值之差当唯一夹角，更不能使用它们的和。零向量不按上述方向定义夹角。

二、考点方法与例题

1. 先规范每个因子，再乘模加角

外系数必须是正模，虚部负号先吸收到角中。度与弧度统一；若需要主值，再把结果减加整周。

例题 01 三角形式与代数形式相乘

题目

计算 $2\left( \cos 75^{\circ}+i\sin 75^{\circ}\right)\cdot \left( \frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)$ 的值是（）

A． $-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ B． $\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$

C． $\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}i$ D． $\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i$

答案与解析

解析

第二因子1/2−i/2的模√2/2，一个辐角−45°。乘积的模为2×√2/2=√2，角为75°−45°=30°，故

\sqrt2(\cos30^\circ+i\sin30^\circ)=\frac{\sqrt6}{2}+\frac{\sqrt2}{2}i.

选B。若选第二因子主值315°，角和390°仍与30°同方向，积的主值却不是390°。A实部错号，C为−60°方向，D为60°方向，都不合实际30°。

本题结论

B， $\sqrt6/2+(\sqrt2/2)i$ 。

例题 02 复数乘法与除法的两问

题目

计算：

(1) $2\left( \cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6}\right)\times \frac{3}{4}\left( \cos \frac{2}{3}\pi +i\sin\frac{2}{3}\pi \right)$ ；

(2) $2\sqrt{3}\left( \cos \frac{\pi }{6}-i\sin \frac{\pi }{6}\right)\div \left[ \sqrt{3}\left( \cos \frac{\pi }{3}+i\sin\frac{\pi }{3}\right)\right]$ ．

答案与解析

解析

（1）模相乘为2×3/4=3/2；角相加为π/6+2π/3=5π/6。所以

\frac32(\cos(5\pi/6)+i\sin(5\pi/6))=-\frac{3\sqrt3}{4}+\frac34i.

（2）被除数的实际方向是−π/6，模2√3；除数模√3>0，除法合法。模比为2，方向差−π/6−π/3=−π/2，故结果2[cos(−π/2)+i sin(−π/2)]=−2i。主值可写3π/2，不能漏掉被除数原有的负正弦。

本题结论

（1） $-3\sqrt3/4+(3/4)i$ ；（2） $-2i$ 。

2. 复合操作逐步核模与方向

共轭和倒数都会反转方向符号，但平方还会倍角。先写每步的模和角，再用角区间对应的坐标符号判断象限，不凭负号个数猜。

例题 03 共轭平方的倒数对应点的位置

题目

设复数 $z$ 满足条件 $argz\in \left( \frac{3}{4}\pi ,\pi \right)$ ，则 $\frac{2021}{\overline{{z}^{2}}}$ 对应复平面上的点位于（）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

答案与解析

解析

题给辐角意味着z非零。令模r>0，θ∈(3π/4,π)。平方的模r²、角2θ；共轭后角−2θ；再取倒数，角又变2θ，模变1/r²。乘正实数2021不变方向，因此

\frac{2021}{\overline{z^2}}=\frac{2021}{r^2}(\cos2\theta+i\sin2\theta).

原解析曾写成cos(−2θ)+i sin2θ，虽然由余弦偶性数值相同，却不是用同一角的规范结构；读辐角应使用上面的统一角2θ。

2θ∈(3π/2,2π)，余弦正、正弦负，模系数也正，点在第四象限，选D。两端都未包含，所以不落坐标轴；A、B、C要求的坐标符号均不合。

本题结论

D，第四象限。

3. 旋转后重合，先写两个新位置相等

将各自的旋转因子乘到对应原数上，再令结果相等；求原向量时撤销它经历的旋转。模、方向、非零条件最后一并回验。

设复数 ${z}_{1},{z}_{2}$ 对应的向量分别为 $\vec{O{Z}_{1}},\vec{O{Z}_{2}},O$ 为坐标原点，且 ${z}_{1}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}i$ ，若把 $\vec{O{Z}_{1}}$ 绕原点顺时针旋转 $\frac{3\pi }{4}$ ，把 $\vec{O{Z}_{2}}$ 绕原点逆时针旋转 $\frac{4\pi }{3}$ ，所得两向量的终点重合，则 ${z}_{2}=$ （）

A． $1-\sqrt{3}i$ B． $-1+\sqrt{3}i$ C． $\sqrt{3}-i$ D． $-\sqrt{3}+i$

答案与解析

解析

z₁=−√2+√2i的模2、方向3π/4，顺时针转3π/4后方向0，成为实数2。因此z₂须满足

z_2[\cos(4\pi/3)+i\sin(4\pi/3)]=2.

原解析有一行把正弦角误写为3π/4；同一个旋转因子的正弦、余弦角都应为4π/3，后续计算须用纠正后的因子。撤销旋转，z₂模仍为2，方向−4π/3，同终边主值2π/3，故

z_2=2[\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi/3)]=-1+\sqrt3i.

选B。其方向2π/3再加4π/3为2π，确回到正实轴上的2。A、C、D虽模也为2，但方向分别5π/3、11π/6、5π/6，经过同样旋转均不指向正实轴，不能重合。

本题结论

B， $-1+\sqrt3i$ 。