等比例更新、剩余量与累计量

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固定比例是每次乘同一倍率，不是每次减同一数量。先认清当前量、剩余量和累计量，再决定用重复乘法还是一次关系。

一、知识点概念与依据

1. 从一次更新推出多次关系

初始量 $A_0$ ，每次保留倍率 $q$ ，则 $A_1=qA_0$ ， $A_2=qA_1=q^2A_0$ ，重复得

A_n=A_0q^n,\qquad n\in\mathbb Z_{\ge0}.

也可逐次验证：0次是 $A_0$ ，若 $n$ 次符合，下一次再乘 $q$ 就得到 $A_0q^{n+1}$ 。倍率与所问量先作对照：

固定的变化	一次更新	多次更新
每次减少固定比例 $r$	乘 $1-r$	倍率累乘
每次增加固定比例 $r$	乘 $1+r$	倍率累乘
每次减少固定数量 $d$	减 $d$	重复相减，且须守住实际非负范围

倍率无单位，但“每次”须约定相同时间尺度。

本条非负数量通常用 $q>0$ 。 $A_0>0,0<q<1$ 时每次减小，但有限次仍正； $A_0=0$ 时始终为0。 $q=0$ 表示一次后全部消失，应把初始量单独给出，第1次以后为0，不写 $0^0$ 。负倍率不属于这里的非负量模型。

2. 累计减少量有不同的更新式

本段称“累计减少量”时限定 $A_0\ge0$ 、 $0\le q\le1$ ；增长倍率 $q>1$ 不应把负差额称为累计减少量。剩余量是 $A_n$ ，累计减少量 $C_n=A_0-A_n$ 。下一次减少 $(1-q)A_n$ ，所以

C_{n+1}=C_n+(1-q)(A_0-C_n)=qC_n+(1-q)A_0.

这个一次式描述“累计量到下一累计量”，不与剩余量的指数表达式矛盾。

所问量	表达式	与下一次的联系
当前剩余量	$A_n$	下次剩余 $qA_n$
下次单次减少量	$(1-q)A_n$	只记这一次，不含过去
当前累计减少量	$C_n=A_0-A_n$	加下次单次量才得 $C_{n+1}$

理想混合中，要求容量 $V>0$ 、 $0\le d\le V$ 、 $0\le A\le V$ 。初始组分量 $A$ 、累计取出 $x$ ，每次取出 $d$ 后补满并充分混匀，则下一次取出的组分是 $d(A-x)/V$ ，新累计量为

f(x)=\left(1-\frac dV\right)x+\frac{dA}{V}.

若 $A>0$ 且 $0<d<V$ ，有限次后剩余组分仍为正； $A=0$ 时始终无该组分， $d=V$ 时一次取尽， $d=0$ 时没有取出，三种边界单独处理。补水恢复总体积，不恢复已取出的组分。混匀、恒容量及题给守恒假设是这个比例的依据；没有这些条件，不能只凭总剩余量计算局部取出的浓度。

3. 倍率块外推与时间起点

已知 $q^T=S>0$ 、 $T>0$ ，则在允许的模型时间上 $q^t=S^{t/T}$ 。例如三个相同时段应把一个时段倍率乘三次，不把它乘3。

整数次更新只规定整数时刻；连续实数时间的指数模型须由题给或明确允许，不能自行在两个整数状态间补造指数曲线。若给 $e^{-kt}$ ， $k$ 与时间单位须配合，使指数无量纲。已过5小时后“再过10小时”，从最初计时是15小时。

若真正更新的是相对基准 $B$ 的差量，应先令 $D=A-B$ 再取倍率，最后加回基准。冷却的温差例见冷却模型。

4. 阈值、整数次数与模型假设

求时间阈值先保留严格或非严格号。正量取底大于1的对数时保序，但除以 $\log q$ 前须判断正负； $q<1$ 时它为负，除后反向， $q=1$ 时应直接核验恒值情况，不能除0。

连续时间需检查边界能否取到；整数次数则与非负整数取交，回代候选及相邻整数。整数次数产生离散状态，即使状态落在某区间，也不意味着取遍区间。

仅知一段时间累计减少20%，不能唯一确定未来规律。恒比例与恒数量是不同假设，应先说明采用哪一种，不能把原题“按此规律”的模糊字样当成充分条件。

二、考点方法与例题

1. 由累计量恢复剩余量

先用“初始组分−累计取出”算剩余，再按下次取出份额算新增量，最后加回累计量。以第一个实际状态检验选项，并列出可达输入集合。

例题 01 混合取出中的三种量

题目

从装满10升纯酒精的容器中倒出2升酒精，然后用水将容器加满，再倒出2升酒精溶液，再用水将容器加满，照这样的方法继续下去，设倒完第 $k$ 次后，前 $k$ 次共倒出纯酒精 $x$ 升，倒完第 $k+1$ 次后，前 $k+1$ 次共倒出纯酒精 $f\left( x\right)$ 升，则 $f\left( x\right)$ 的解析式是（）

A． $f\left( x\right)=\frac{4}{5}\left( x+2\right)$ B． $f\left( x\right)=\frac{1}{5}x+2$

C． $f\left( x\right)=\frac{4}{5}x+2$ D． $f\left( x\right)=\frac{1}{5}x$

答案与解析

解析

累计倒出 $x$ 升，组分剩 $10-x$ 升。按原解析采用的补满10升并充分混匀前提，下一次取出2升含组分 $2(10-x)/10$ 升，故

f(x)=x+\frac{2(10-x)}{10}=\frac45x+2.

第一次累计2升，第二次新增1.6升、累计3.6升。A、B、D在 $x=2$ 时给3.2、2.4、0.4，都不符；C给3.6。

每次剩余量乘 $4/5$ ，所以 $A_k=10(4/5)^k$ ，累计 $x_k=10[1-(4/5)^k]$ 。题意 $k$ 为正整数，实际输入是这些离散状态，虽全部落在 $[2,10)$ ，却不取遍该区间；只有另外允许第0次时才加入0。有限次仍有组分，累计不达到10。

题干未明写混匀，须说明这是原解浓度算法使用的模型前提；原思路称“质量”，但单位升及本题运算均为体积，不能混用。

本题结论

$f(x)=4x/5+2$ ，选C；实际输入是整数次数产生的离散累计值。

2. 利用完整倍率块，少求无关参数

先把增长率或消除率改成后量保留倍率，再数目标包含几个已知时段。可直接把已知倍率取幂，无须先算每单位速率。

例题 02 植物长度的阶段增长

题目

某学校一个课外实验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据实验数据可知，在相同条件下，这种植物每天以 $a\%$ 的增长率生长，8天后，该植物的长度是原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，则24天后该植物的长度是原来的（）

A． $\frac{27}{16}$ 倍 B． $\frac{27}{2}$ 倍 C． $\frac{27}{8}$ 倍 D． $\frac{27}{4}$ 倍

答案与解析

解析

原长 $m>0$ ，每日倍率 $q=1+a\%>0$ 。条件给 $mq^8=(3/2)m$ ，可约去非零 $m$ 得 $q^8=3/2$ 。因此 $q^{24}=(q^8)^3=27/8$ ，选C。

也可先求正根 $q=(3/2)^{1/8}$ 再取24次幂；把原长定作1个单位只是单位化，不是声称所有植物实际都长1。A、B、D分别是正确值的一半、4倍、2倍，均不符。不能把8天增长50%乘3作为累计增长150%，因为每段基数已更新。模型只在相同条件、固定每日率下外推。

本题结论

原来的 $27/8$ 倍，选C。

例题 03 废气过滤的剩余含量

题目

某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气中的污染物含量P（单位： $\frac{mg}{L}$ ）与时间t（单位：h）间的关系为 $P={P}_{0}{e}^{-kt}$ ，其中 ${P}_{0}$ ， $k>0$ ，初始时污染物的含量为 ${P}_{0}$ ，若在前5h内消除了10%的污染物，则再过滤10h后污染物含量还剩余初始时的（）

A．70% B．85% C．81% D．72.9%

答案与解析

解析

前5小时消除10%，是保留90%，不是保留10%。由 $P_0>0$ 得 $e^{-5k}=P(5)/P_0=0.9$ 。再过滤10小时，从初始算共15小时，故

P(15)/P_0=e^{-15k}=(e^{-5k})^3=0.9^3=0.729.

D正确。A把三个时段误作各减初始量10%；B没有题给模型依据；C的81%对应总10小时，不是“已经5小时后再10小时”。这里题目已给连续指数式，不是从离散规则猜出中间曲线。

本题结论

剩余初始量72.9%，选D。

3. 先确认恒率，才把总倍率开根

相对时间比例进入指数，不能把两时长相乘。若原题没有明确恒比例，应保留原答案使用的假设，并用另一种合法更新模型检验条件是否充分。

例题 04 耕地面积的五年变化

题目

为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了 $20\%$ ，如果按照此规律，设2024年的耕地面积为m，则2029年的耕地面积为（）

A． $\left( 1-{0.2}^{250}\right)m$ B． $\left( 1-{0.8}^{\frac{1}{10}}\right)m$

C． ${0.8}^{250}m$ D． ${0.8}^{\frac{1}{10}}m$

答案与解析

解析

沿原解采用“每年减少比例恒定”的口径，年保留倍率 $0<q<1$ ，有 $q^{50}=0.8$ 。2024至2029为5年， $q^5>0$ 且 $(q^5)^{10}=0.8$ ，故 $q^5=0.8^{1/10}$ ，面积为 $m0.8^{1/10}$ ，选D。

B给的是减少面积；C错把50和5相乘为250；A还把0.2当保留率。正确5年倍率应在0.8与1之间，面积为正且小于 $m$ 。

但题干只说“按照此规律”，并未明言恒年率。若每年减少同一绝对面积，50年前为 $m/0.8$ ，每年减少 $(m/0.8-m)/50=m/200$ ，未来5年为 $39m/40$ ，与D不同。因此D是原解恒率假设下的结论，不是只凭总减20%即可唯一推出。原解“每年减少 $x$ ”必须解释为比例而非有面积单位的数量。

本题结论

沿原解恒年减少率口径选D；单凭题给总变化不足以唯一确定规律。