圆排列：先约定旋转等价，再处理邻接

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这是在排列模型上的拓展。圆桌的形状不自动决定能否除以人数，真正决定计数的是“哪些记录算同一个结果”。先修：不同对象的排列、相邻捆绑与插空。

一、知识梳理

1. 圆上的顺序与编号座位不是一个模型

$n\ge1$ 个不同元素围成圆。如果只记录相对顺时针次序，约定整体旋转是同一排列，镜像反转通常仍不同，就称本页的圆排列。题目若明确镜像也相同，须另行去重。

若 $n$ 把椅子有固定编号，或有人须坐面向讲台的某一特定位置，位置已有标签或绝对方位限制。整体旋转会改变安排，不能看到“圆桌”就自动除 $n$ ；应先定义最终结果，再按全部限制计数。

2. 固定一个有名参照，为什么是 $(n-1)!$

在旋转等价的约定下，选一个有名称的元素作参照，将它作为顺时针记录的起点。每个圆排列都唯一对应其余 $n-1$ 个元素的排列，所以有

(n-1)!

种。这里是消除同一圆排列的不同起读方式，不是强加一个实际编号座位条件。

等价证明：从圆上的 $n$ 个不同元素分别起读，恰有 $n$ 个不同线性序列，因此 $n!/n=(n-1)!$ 。元素不同保证这些起读记录确实不同；重复物件、重复颜色不自动具有这个倍除依据。加入限制时，还须核整体旋转不改变合法性，不能从一个不封闭的合法集合随意除 $n$ 。

3. 环形邻接与环形空隙

线性记录的首位和末位在圆上相邻。 $r\ge1$ 个骨架对象排成圆，只形成 $r$ 个环隙，不是线性排列的 $r+1$ 个空隙；没有两个独立端隙。 $r=1$ 时是在这个骨架对象周围的一处环隙，不能按“两个端点”重复算。

必须相邻的不同对象可在条件允许时捆绑，但块有内部方向，两端露出的人不同。某人禁邻新插者，要检查哪一个外侧环隙实际紧邻该人，不能把整个块两端都当作该人。指定插入者若两两不邻，一隙最多一人；若只是禁邻某个骨架成员，而插入者彼此可邻，同隙连续插入也可能合法。

4. 镜像与小规模边界

旋转等价不等于镜像等价。只有题目明确把反向记录视为同一结果，且每一类恰有两个不同方向记录时，才可再除 $2$ 。 $n=1$ 时圆排列为 $0!=1$ ； $n=2$ 时两人相邻，反向记录与旋转记录已经是同一个圆排列，不能再除 $2$ 。重复物件也可能有反射重合，须按实际等价类检查，不能机械倍除。

二、考点与方法

方法：定等价、压连续块、查两端、数环隙

先说明旋转和镜像是否等价，是否有编号座位或绝对方位限制。只在旋转保持合法性、不同起读等量重复时，才采用圆排列倍除。
必须相邻者合成连续块，计块内合法方向。将块与普通对象排成圆，固定一个参照后排列其余骨架对象；若用全排除骨架对象数，须说明等量起读记录。
沿环逐隙看左右实际成员，排除违禁隙。两两不邻的不同插入者选不同允许隙再排列；允许彼此相邻时另数同隙连续记录。
最后删插入者、压块，能唯一还原骨架、块方向与插入记录；反向展开也满足所有条件，才是不重不漏的计数。

例题 01 圆桌上的相邻与“不能相邻”

题目

2024年3月5日至11日，第十四届全国人民代表大会第二次会议胜利召开.此次大会是高举旗帜、真抓实干、团结奋进的大会，全国人大代表不负人民重托、认真履职尽责，凝聚起扎实推进中国式现代化的磅礴力量.某村小校党支部包含甲、乙、丙、丁的10位党员开展“学习贯彻2024年全国两会精神”圆桌会议，根据会议要求：甲、乙必须相邻，甲、丙、丁不能相邻.则不同的座位安排有

________ 种（用数字作答）.

答案与解析

解析

原题没有明确整体旋转是否等价，“不能相邻”也可能有不同理解。先说明采用的约定，再分别计算。

原解采用的约定。十个人各不相同，整体旋转视为同一座次，镜像顺序仍不同；“甲、丙、丁不能相邻”按三者两两不相邻理解。在这些约定下，原填空答案为 $43200$ 。

先建立骨架。合并甲乙为块，连同除丙丁外的另外六人，共七个不同对象排成圆。固定一个参照对象，其余六个全排；块内甲乙、乙甲有两种方向，所以骨架连内部方向共

2\cdot6!=1440.

这也等于原解的 $2!\cdot7!/7$ 。七个不同骨架对象恰有七种不同起读记录，限制只关乎邻接，旋转保持合法性。

再检查允许环隙。七对象骨架有七个环隙。甲已经与乙相邻，只在甲露出的那个外侧环隙可能再邻丙或丁，所以禁一个隙；块另一端露出的是乙，不因甲的限制而禁用。因此共有六个允许隙。

丙丁彼此也不能相邻，必须放两个不同允许隙，按丙、丁区分，有 $6\times5=30$ 种，故

1440\times30=43200.

从一个合法座次删丙丁、压缩甲乙，骨架、内部方向和两插入隙都唯一；反向展开也满足甲乙相邻以及甲丙丁两两不邻。这是完整计数的依据，不靠单个试排猜乘积。

若题意仅禁甲与丙、丁相邻。丙丁允许相邻时，还可在同一允许隙中按丙丁或丁丙连续放入，新增 $6\times2=12$ 种。两人分居不同隙与同隙两类互斥穷尽，因此改为

1440(30+12)=60480.

原答案 $43200$ 依赖前述“两两”约定，不能说两种解释都给同一个数。

若十座有固定编号且无其他绝对限制。整体旋转的十个记录彼此不同，每个无编号圆排列对应十种编号安排；上述两种解释分别为 $432000$ 与 $604800$ 。若再有特定人员禁坐某号等限制，还须重新筛选，不能统一乘除十。

本题结论

原解约定下为 $43200$ ；若只禁甲邻丙丁而允许丙丁相邻，则为 $60480$ 。

三、坑点辨析

1. 圆形不保证旋转等价

先看座位是否编号、是否有绝对方位条件。固定参照是为同一圆排列选一个唯一记录；实际指定某人坐某把有号椅子，是题目新增约束，不可混为一谈。重复元素也不能直接照搬“每个结果恰有 $n$ 个不同起读”的证明。

2. 首尾邻接，块的两端却不是同一个人

环上应检查首尾这一对邻居，插空只数 $r$ 个环隙。例题 01 甲乙块只禁甲端外侧一隙，不是两端都禁；丙丁是否可以共隙，取决于是否要求两人彼此不邻。原题“不能相邻”存在歧义，必须声明解释，不能拿算出的数反推题干必然完整。

3. 镜像是否合并，要先说清再检查重复数

若题目只规定旋转等价，镜像通常另算。即使允许镜像等价，也先检查有无反射后已旋转重合的情况，不能无条件再除 $2$ 。

辨析 01 自编辨析｜两人与三人的镜像记录

题目

甲、乙两人围坐，整体旋转等价。若再把镜像看作相同，能否将 $1!$ 再除 $2$ ？换成甲、乙、丙三人会怎样？

答案与解析

解析

两人的唯一圆排列，从甲读是甲乙；反向读仍是甲乙，已经是同一个结果。因此仍为 $1$ ，不能得到半个方案。

三人先只按旋转等价，从甲读有甲乙丙与甲丙乙两个不同圆排列。镜像交换这两个记录；若题目也约定镜像等价，它们合成一类，所以为 $1$ 。三人这次能除二，是因为这一类确含两个不同方向记录，不是因为“圆形一律除二”。

本题结论

两人仍为 $1$ ；三人只计旋转时 $2$ ，再计镜像等价时 $1$ 。