样本平均描述已得到的记录，估计总体则还要检查抽样设计。分层时先还原各层总体总量，再除总体人数。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

总体固定，样本随抽取变化

同一变量的总体值为 $Y_1,\ldots,Y_N$，样本 $n$ 条记录为 $y_1,\ldots,y_n$，容量为正整数：

$$\overline Y=\frac{\sum_{j=1}^NY_j}{N},\qquad\overline y=\frac{\sum_{j=1}^ny_j}{n}.$$

二者单位同原变量。总体范围和变量固定后 $\overline Y$ 固定，抽样前样本及 $\overline y$ 随抽取改变。$\overline y$ 估计 $\overline Y$，不是声称二者恰相等。精确频数表中值 $v$ 出现 $c$ 次就贡献 $cv$，按人数而不是按不同值的种数加权。

从真实总和到分层估计

有 $L$ 个互斥完整层，容量 $N_i>0$，$N=\sum_iN_i$；真实层均值 $\overline Y_i$，样本容量 $n_i>0$、层样本均值 $\overline y_i$。真实总和分解给准确恒等式

$$\overline Y=\frac{\sum_iN_i\overline Y_i}{N}=\sum_i\frac{N_i}{N}\overline Y_i.$$

以合理随机样本均值代替各真实层均值，才成为估计

$$\widehat{\overline Y}=\sum_i\frac{N_i}{N}\overline y_i.$$

帽号标示估计，不抹去抽样误差。层内每个固定抽取位置，各单位无条件率为 $1/N_i$，按所有可能结果及概率求理论平均，得层值总和除 $N_i$，即 $\overline Y_i$。对 $n_i$ 个位置的记录分别这样取理论平均，再求和除 $n_i$，仍对准 $\overline Y_i$。这是概率加权的重复抽样平均意义，不保证一次或有限多次实测恰好等于总体均值。

要算的量	层均值权重	结果性质
完整总体均值	$N_i/N$ 乘真实层均值	准确恒等式
分层总体均值估计	$N_i/N$ 乘样本层均值	根据样本估计总体
合并样本普通均值	$n_i/n$ 乘样本层均值	准确描述本次样本

$\overline y=\sum_i(n_i/n)\overline y_i$。比例分配使 $n_i/n=N_i/N$，普通样本均值与分层估计作为方法相同；非比例时一般不能换用。某一次各层均值相等而数值碰巧相同，不证明权重可普遍互换。层总体人数全相等时才可按层等权求真实总体均值及其相应估计。

使用边界与单位

同一变量先统一单位，如小时与分钟先换算。总体层人数须已知，层内抽取须合理，所有正权重层须有观测。$n_i=0$ 时均值未定义，不能当0，也不能删层后重新归一化声称估计全体。

合理扩大随机样本一般可减少抽样波动，但某一次大样本仍可能比另一次小样本偏差大。便利抽样均值可描述自身，却不能无依据推广；选样偏差、漏答、测量错误不因人数多自动消失。

二、考点 方法与例题

检查权重后再代数

1. 固定变量、单位及全体范围；只有人数而无观测值，不能计算具体平均水平。
2. 各层记录总和除 $n_i$，已给层均值则不重复求；无记录不得当0。
3. 核总体人数和 $N$，用 $N_i/N$ 作总体权重，不用非比例的样本比例替代。
4. 以层样本均值估计层总体均值后加权，注明是估计。
5. 权重须非负且和为1，估计值应介于各层样本均值的最小最大间；这只核加权运算，不保证真实总体均值落在这个区间，也不证明代表性。

若两层容量另记 $M,N$，估计式为 $(M\overline y_1+N\overline y_2)/(M+N)$。这里的 $N$ 是第二层容量，不是两层总量，每题须先认符号。改用完整真实层均值时才是全体均值恒等式。

例题 01 粮食抽样中的比例估计

题目

我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2020石（石，古代质量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得255粒内夹谷29粒，则这批米内夹谷约为（假设一粒谷和一粒米的质量近似相同）（    ）

A．210石 B．220石 C．230石 D．240石

答案与解析

解析

谷记1、米记0，255条记录中29个1，样本均值 $29/255$ 估计谷的粒数比例。题给一粒谷与一粒米质量近似相同，才能进一步近似质量比例。

$$2020\times\frac{29}{255}=\frac{58580}{255}\approx229.73\text{石}.$$

按选项约230石，选C；A、B、D不等于此估计。取一把需混合充分、具有代表性，不能删“约”声称每次必得230石。两类单粒质量明显不同时，还需质量信息，不能只凭粒数比例乘总质量。本题不需分层，但同样要核所用权重与待估总量是否对应。

本题结论

C，约230石

例题 02 给定分地区名额的抽取

题目

某电视台举行颁奖典礼，邀请20名甲､乙､丙地艺人演出，其中从30名丙地艺人中随机挑选10人，从18名甲地艺人中随机挑选6人，从10名乙地艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人.

答案与解析

解析

各地区分别编号，制相同外观质地且无法辨号的签，分别置不透明容器充分混匀，独立不放回抽足规定名额，按地区及编号还原人选：

地区	总体/样本人数	编号与抽取	总体权重	样本权重
丙	30/10	01至30抽10	$30/58=15/29$	$10/20=1/2$
甲	18/6	01至18抽6	$18/58=9/29$	$6/20=3/10$
乙	10/4	01至10抽4	$10/58=5/29$	$4/20=1/5$

总人数58、样本20，入样率依次 $1/3,1/3,2/5$，非比例。若以后记录同一变量的层样本均值，总体估计须按 $15/29,9/29,5/29$ 加权，不能用样本权重；两套权重都和为1，但样本给乙层相对更高权重。

题目本身只问抽签，没有变量观测值，只能完成抽取方案及权重判断，不能编出具体“总体平均数”。

本题结论

三地区分别编号、制同质签、混匀后不放回抽10、6、4人。

三、坑点 边界与纠错

等权平均层，不等于等权平均人

各层人数不同，先把层均值相加除层数是按层平均，不是按全体单位平均。非比例样本也不应直接普通平均后冒称总体估计，须还原总体层权重。

精确分解与估计不混写

同一完整数据的均值分解用等号；用样本替代未知总体均值则标估计。估计值在层样本均值范围内只说明加权未越界，不说明真实总体均值也在这个样本区间。

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