恒成立、有解与真实区间极值

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“所有点都通过”要检查最不利值，“至少一点通过”要寻找有利见证。先固定参数和真实自变量范围，再用配方确定最值；全实数判别式、有限区间端点与内部顶点，是范围不同带来的不同判断。

一、知识点概念与依据

1. 固定参数，先辨全称与存在

将原比较两边作差为 $F(x)$ ，记录自变量的真实允许范围 $I$ 。参数在这一次判断中固定， $x$ 是遍历或寻找的对象。原式有禁值时先排除，作差后的首项可能为零，即使原函数题干叫二次函数，也须重认实际次数。

全称要求 $I$ 内每个点通过；存在只要求一个。 $I=\varnothing$ 时全称按逻辑为真、存在为假，不能求不存在对象的最值。非空范围中，“存在 $F>0$ ”为假等价于“每个 $F\le0$ ”，不是“每个 $F<0$ ”。

2. 配方解释全实数的有利与不利位置

对 $F=Ax^2+Bx+C$ ， $A\ne0$ ，记 $\Delta=B^2-4AC$ ，配方

F=A\left(x+\frac B{2A}\right)^2-\frac\Delta{4A}=A(x-h)^2+k,

其中 $h=-B/(2A)$ ， $k=-\Delta/(4A)$ 。平方在 $x=h$ 实际取到 $0$ ；因此 $A>0$ 的最低值为 $k$ ， $A<0$ 的最高值为 $k$ 。

平方也能任意大：取 $x=h+t$ 且 $t^2>(\lvert k\rvert+1)/\lvert A\rvert$ ， $A>0$ 时得到正值， $A<0$ 时得到负值。这个具体构造说明为什么开口不能忽略，也不需要借助导数或图像尺寸判断。

3. 真正二次式的全域判据，先看目标符号

全实数恒成立目标	充要条件，限定 $A\ne0$
$F>0$	$A>0$ 且 $\Delta<0$
$F\ge0$	$A>0$ 且 $\Delta\le0$
$F<0$	$A<0$ 且 $\Delta<0$
$F\le0$	$A<0$ 且 $\Delta\le0$

正确开口下，要求最不利的实际顶点值通过；错误开口下，远处点会失败。严格条件排除顶点为零，非严格允许。比如 $A<0$ 时 $k<0$ 等价于 $\Delta<0$ ，同乘负数 $4A$ 要反向。

真正二次式	存在 $F>0$	存在 $F\ge0$	存在 $F<0$	存在 $F\le0$
$A>0$	总成立	总成立	$\Delta>0$	$\Delta\ge0$
$A<0$	$\Delta>0$	$\Delta\ge0$	总成立	总成立

“总成立”的分支可选上节远处点；其余分支选顶点并检查其值。向上式存在负值要求最低点负，向下式存在正值要求最高点正，均得到 $\Delta>0$ ；非严格允许等于零。

所以方程无实根不等于不等式无解，判别式只管零点，必须结合目标符号。 $F>0$ 无解等价于全域 $F\le0$ ，真正二次式应为 $A<0,\Delta\le0$ ；知识库记载的旧概述将首项符号写成正是错误的。非严格全域非负对应 $A>0,\Delta\le0$ 则正确，不能误删重根。

4. 一次与常数退化另接回

$A=0$ 时先回原式。若 $B\ne0$ ，一次式 $Bx+C$ 可取任意实数：给定值 $y$ ，取 $x=(y-C)/B$ 。因此四种全域同号要求都不可能，而四种存在正、非负、负、非正的要求都可能。

若 $A=B=0$ ，只比较常数 $C$ 与零；零常数满足非严格目标，不满足严格目标。若原范围有限，则一次式未必取得任意实数，要按实际端点判断，不能套上述全域结论。

一个典型退化边界是 $(a-2)x^2-2(a-2)x-4<0$ 全实数成立。 $a=2$ 为常数 $-4$ ，应收入； $a\ne2$ 需 $a<2$ 且 $\Delta=4(a-2)(a+2)<0$ ，得 $-2<a<2$ ，合并为 $(-2,2]$ 。 $a=-2$ 为 $-4(x-1)^2$ ，在 $x=1$ 取零，严格负失败； $a>2$ 远处变正，也不合格。只答开区间 $(-2,2)$ 会漏掉合法常数。

5. 闭区间极值来自距离顶点最近或最远的点

仍写 $F=A(x-h)^2+k$ 。平方随非负距离 $\lvert x-h\rvert$ 增大而增大； $A>0$ 时函数值随距离增大， $A<0$ 时反向。这已足以确定区间最值，无须预先使用导数。

对有限闭区间 $[L,U]$ 、 $L<U$ ，距离 $h$ 最近的允许点 $q$ 为： $h\le L$ 取 $L$ ， $L<h<U$ 取 $h$ ， $h\ge U$ 取 $U$ 。距离最远的点在两个端点之一，因为区间内各点与 $h$ 的距离不超过两个端点距离的较大者。

开口	区间最小值	区间最大值
$A>0$	$F(q)$	$\max\{F(L),F(U)\}$
$A<0$	$\min\{F(L),F(U)\}$	$F(q)$

轴恰在端点时该点允许。 $L=U$ 只查唯一点； $A=0$ 按一次或常数处理。轴含参数时先分位置，解完条件必须与该位置的参数分支取交。

例如 $F=x^2-x+1/2=(x-1/2)^2+1/4$ 在 $[-1,1]$ 最小为 $1/4$ ，因为内部点 $1/2$ 合法。因此全称 $F\ge m$ 恰得 $m\le1/4$ 。仅查两端会看到 $F(-1)=5/2,F(1)=1/2$ ，漏掉真正内部最小值； $m>1/4$ 在 $x=1/2$ 直接失败。

6. 已取得极值时的两张量词表

若 $F$ 在非空范围中实际取得最小值 $n$ 、最大值 $N$ ，则：

目标	全称成立	存在成立
$F>m$	$m<n$	$m<N$
$F\ge m$	$m\le n$	$m\le N$
$F<m$	$m>N$	$m>n$
$F\le m$	$m\ge N$	$m\ge n$

全称必要性来自最不利点也在范围内，充分性来自 $n\le F\le N$ ；存在必要性来自任何见证都受整个范围界限制，充分性选有利最值点。不能背“恒成立一律看最小”或“有解一律看最大”，比较方向改变时选择也改变。

例如在 $[0,4]$ ， $x^2-4x=(x-2)^2-4$ 的最大值是 $0$ ，在 $0,4$ 取得。存在 $x^2-4x>a^2-5a$ ，恰需 $a(a-5)<0$ ，即 $0<a<5$ ；每个这样的参数都可选 $x=0$ 。若错看最小值 $-4$ ，会得到过窄范围；如 $a=1/2$ ， $x=0$ 已有 $0>-9/4$ 。 $a=0,5$ 时右边为零而左边始终非正，严格见证不存在。只给 $(1,4)$ 漏合法参数，给相反两侧或包含 $a=0$ 的范围又收进无解参数。

7. 参数分离先判除数，换元后反代见证

从 $mH(x)\le G(x)$ 分离： $H>0$ 时得 $m\le G/H$ ， $H<0$ 时反向， $H=0$ 的点直接查 $0\le G$ 。若 $H$ 变号，按各段与零点处理；全称要求每段通过，参数条件取交，存在只要一段有见证，条件取并。原分母禁值始终保留。

本组用到的正数基本界可直接由平方证明。对 $u,v>0$ ，

(\sqrt u-\sqrt v)^2\ge0\quad\Rightarrow\quad u+v\ge2\sqrt{uv},

等号恰在 $u=v$ 。因此 $t+k/t\ge2\sqrt k$ （ $t,k>0$ ），等号要求 $t=\sqrt k$ 。得到界以后还须检查这个 $t$ 是否在换元后的范围，并反代成原来允许的 $x$ ；取等不可达就不能称最小值。

例如 $x\in[1,3]$ ， $x^2-2ax+a+2\le0$ 等价于

a\ge R(x)=\frac{x^2+2}{2x-1},\qquad 2x-1>0.

令 $t=2x-1\in[1,5]$ ，则 $R=(t+9/t+2)/4\ge2$ ，等号 $t=3$ 对应 $x=2$ 合法。也可直接作差 $R-2=(x-2)^2/(2x-1)\ge0$ 。所以有解当且仅当 $a\ge2$ ，任意合格参数选 $x=2$ ，原式为 $6-3a\le0$ 。 $a\ge1$ 多收无解段； $a\ge3$ 或 $a\ge11/5$ 都漏掉合法阈值附近参数。原 $x$ 范围闭不是参数闭端的理由，取等见证才是。

8. 未取得的界不冒充最值

开区间的函数可能只有趋近的界。设 $\alpha$ 是所有下界中最大的一个，称下确界；不保证存在 $F=\alpha$ 。全称 $F\ge m$ 要 $m\le\alpha$ ；全称 $F>m$ 在 $m<\alpha$ 时成立， $m=\alpha$ 时仅当所有值都严格大于该界才成立， $m>\alpha$ 必失败。后一结论因为高于最大下界的 $m$ 已不是下界，必有更小函数值。

对存在要求： $\exists F<m$ 恰需 $m>\alpha$ ； $\exists F\le m$ 在 $m=\alpha$ 时还须该界实际取得。上界方向对称，若 $\beta$ 是最小的上界， $\exists F>m$ 恰需 $m<\beta$ ， $\exists F\ge m$ 的等号仅在上界取得时成立；全称 $F<m$ 可在未取到上界时允许 $m=\beta$ 。

这些拓展词只是说明边界机制，下面原题都用具体取等点判断。无界的方向可以越过任意有限阈值，但无穷大不是函数值或一个可选见证。不要把自变量开区间的括号复制成参数开区间。

二、考点方法与例题

1. 同一表达式的全域与区间要求分别求

全域先分首项零、正、负，用配方与远处点说明两向；有限区间则查允许的轴或端点。能分离参数时先证明除数符号，得到实际最值并说明取等点合法。不同小问的额外范围不自动承接。

例题 01 全实数与有限区间的不同最不利点

题目

设函数 $y=m{x}^{2}-mx-1$ ．

(1)若对于一切实数 $x,y<0$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

(2)对于 $1\le x\le 3,y<-m+5$ 恒成立，求 $m$ 的取值范围．

答案与解析

解析

（1）这里的 $y$ 是题设函数值，要求对每个实数 $x$ 都有 $y<0$ 。 $m=0$ 时恒为 $-1<0$ ，合格； $m>0$ 远处正，不合格； $m<0$ 需 $\Delta=m^2+4m=m(m+4)<0$ ，与负性取交得 $-4<m<0$ 。并入零，结果 $-4<m\le0$ 。 $m=-4$ 时为 $-4(x-1/2)^2$ ，顶点零使严格号失败。

（2）重新按 $x\in[1,3]$ 判断，不继承第一问参数范围。移项得

m(x^2-x+1)-6<0.

方法一，分离参数。 $H=x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0$ ，所以等价于 $m<6/H$ 全区间成立。对 $1\le u<v\le3$ ， $H(v)-H(u)=(v-u)(u+v-1)>0$ ，故 $H$ 由 $1$ 增至 $7$ ，正倒数 $6/H$ 最小为 $6/7$ ，在 $x=3$ 实际取得。于是 $m<6/7$ 。

方法二，直接按 $m$ 判最大值。目标为 $m(x-1/2)^2+3m/4-6$ ，在本区间距离 $1/2$ 递增： $m>0$ 时最大在 $x=3$ 为 $7m-6$ ，需 $0<m<6/7$ ； $m=0$ 恒 $-6$ ； $m<0$ 时最大在 $x=1$ 为 $m-6<0$ ，全部负 $m$ 合格。三支合并仍为 $m<6/7$ 。

原资料方法一写“ $x>3$ 时最大”，与指定区间不符，应为 $x=3$ 。边界 $m=6/7,x=3$ 原比较恰等，严格号排除；而 $m=1/2$ 在整个区间目标至多 $7/2-6<0$ ，虽全实数远处会正，区间要求仍成立。

本题结论

（1） $-4<m\le0$ ；（2） $m<6/7$ 。

例题 02 先确定函数尺度，再在正半轴分离

题目

已知函数 $f\left( x\right)=a{x}^{2}+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴相交于点 $(2,0)$ 和 $(3,0)$ ，与 $y$ 轴相交于点 $(0,6)$ .

(1)求 $f\left( x\right)$ 的解析式；

(2)若当 $x\in \left( 0,+\infty \right)$ 时， $f\left( x\right)\le 2{x}^{2}-\left( t+5\right)x+10$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）两个零点 $2,3$ 给 $f=A(x-2)(x-3)$ 。纵截距 $f(0)=6$ 给 $6A=6$ ，故 $A=1$ ， $f=x^2-5x+6$ 。尺度来自实际函数值，不是图形外形。

也可解系数方程 $4a+2b+c=0,9a+3b+c=0,c=6$ 。前两式相减得 $5a+b=0$ ；代入第一式得 $-6a=-6$ ，故 $a=1,b=-5,c=6$ 。

（2）原比较等价于

x^2-5x+6\le2x^2-(t+5)x+10 \iff tx\le x^2+4.

在 $x>0$ 下同除正数，得 $t\le x+4/x$ 全正域成立。由 $(\sqrt x-2/\sqrt x)^2\ge0$ ，得 $x+4/x\ge4$ ，等号 $x=2$ 合法。

必要性取 $x=2$ 得 $t\le4$ ；充分性由每个右式都不小于 $4$ 。 $t=4$ 允许， $t>4$ 在同一取等点失败。

本题结论

（1） $f(x)=x^2-5x+6$ ；（2） $t\le4$ 。

2. 有解先找有利点，全域和受限范围分开

全域真正二次式若开口能在远处给出目标符号，就直接构造远处见证；否则看顶点。受限区间不能选区间外点；换元法要反代取等位置。合格参数给见证，不合格参数用整个范围的界排除。

例题 03 解集分类之后，另问全域存在

题目

已知函数 $y=m{x}^{2}-\left( m+2\right)x+2$ ．

(1)若 $m>0$ ，求不等式 $y>0$ 的解集；

(2)若 $m\in R$ ，关于的 $x$ 不等式 $m{x}^{2}-\left( m+2\right)x+2>-2x+5$ 有实数解，求实数 $m$ 的取值范围．

答案与解析

解析

（1） $m>0$ 时 $y=(mx-2)(x-1)$ ，两根为 $1,2/m$ 。 $0<m<2$ 时 $1<2/m$ ，解 $x<1$ 或 $x>2/m$ ； $m=2$ 时 $2(x-1)^2>0$ ，解 $x\ne1$ ； $m>2$ 时解 $x<2/m$ 或 $x>1$ 。严格号排根。

（2）本问明确 $m\in\mathbb R$ ，不可沿用第一问 $m>0$ 。两边作差得 $h=mx^2-mx-3>0$ 有解。

$m=0$ 时恒为 $-3$ ，无解。 $m>0$ 时配方 $h=m(x-1/2)^2-m/4-3$ ，选 $(x-1/2)^2>1/4+3/m$ 即有正值，所以全部正 $m$ 合格，无须额外限制判别式。

$m<0$ 时最高点在 $x=1/2$ ，值 $-m/4-3$ ，严格正恰需 $m<-12$ 。也可用 $\Delta=m^2+12m>0$ 再与 $m<0$ 取交；顶点给充分见证，不合格负参数的每个值都非正。 $m=-12$ 时 $h=-12(x-1/2)^2\le0$ ，排除。

本题结论

（1）按 $m$ 与 $2$ 的三支如上；（2） $m\in(-\infty,-12)\cup(0,+\infty)$ 。

例题 04 存在命题为假与区间内存在各自判断

题目

设函数 $y=-m{x}^{2}+mx-1$ .

(1)若命题： $\exists x\in R,y>0$ 是假命题，求 $m$ 的取值范围；

(2)若存在 $0<x<4$ ，使得 $y\ge \left( -m+1\right){x}^{2}+3$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）“存在 $y>0$ ”为假，直接否定为全实数 $-mx^2+mx-1\le0$ 。

$m=0$ 时常数 $-1$ 合格； $m<0$ 时首项正，远处有正值，不合格； $m>0$ 时向下，最高点 $x=1/2$ 的值为 $m/4-1$ ，非正等价于 $m\le4$ 。合并 $0\le m\le4$ 。在 $m=4$ 仅最高点为零，并无正值，必须收入。

也可先求存在正值的真集： $m<0$ 全部成立， $m>0$ 需 $\Delta=m^2-4m>0$ 得 $m>4$ ，再相对全实数取补得到同一答案。

（2）两边作差，原要求化为 $x^2-mx+4\le0$ 在 $(0,4)$ 有解。因 $x>0$ ，等价于 $m\ge x+4/x$ 有解。右式不小于 $4$ ，等号在内部点 $x=2$ 取得，因此 $m\ge4$ 。

必要性由下界；充分性对每个 $m\ge4$ 都选 $x=2$ ，原两边差为 $2m-8\ge0$ 。 $m=4$ 时原左、右两式都是 $-9$ ，允许等号。第二问不继承第一问 $m\le4$ ，也不能因自变量开区间就排除参数等号。

本题结论

（1） $0\le m\le4$ ；（2） $m\ge4$ 。

例题 05 闭端点分类与换元后的有利取等点

题目

已知函数 $f\left( x\right)=\left( m+1\right){x}^{2}-\left( m-1\right)x+m-1$ .

(1)当 $m<0$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f\left( x\right)\ge 3x+m-2$ ；

(2)若存在 $x\in \left[ 0,2\right]$ ，使得不等式 $f\left( x\right)\le {x}^{2}+2x$ 成立，求实数 $m$ 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）按本问 $m<0$ ，移项并分解得

(m+1)x^2-(m+2)x+1=(x-1)((m+1)x-1)\ge0.

$m=-1$ 时为 $1-x\ge0$ ，解 $x\le1$ 。 $m<-1$ 时首项负且 $1/(m+1)<0<1$ ，非负在两根之间，解 $[1/(m+1),1]$ 。 $-1<m<0$ 时首项正且 $1/(m+1)>1$ ，非负在两侧，解 $(-\infty,1]\cup[1/(m+1),+\infty)$ 。非严格号收入所有合法根，三支覆盖整个 $m<0$ 。

（2）独立处理，不再限制 $m<0$ 。移项得 $m(x^2-x+1)\le x+1$ 。在 $x\in[0,2]$ ， $H=(x-1/2)^2+3/4>0$ ，故需存在 $x$ 使

m\le R(x)=\frac{x+1}{x^2-x+1}.

令 $t=x+1\in[1,3]$ ，有 $R=1/(t+3/t-3)$ ，分母等于 $H/t>0$ 。由正数平方界 $t+3/t\ge2\sqrt3$ ，得

R\le\frac1{2\sqrt3-3}=1+\frac{2\sqrt3}{3}.

这里 $2\sqrt3-3>0$ ，可按正分母反序。等号 $t=\sqrt3\in[1,3]$ ，反代 $x=\sqrt3-1\in[0,2]$ 合法，所以确为最大值。

必要性：任一见证的 $R$ 都不超过该最大值。充分性：任何 $m$ 不超过它，都可选同一个合法最大点。因此 $m\le1+2\sqrt3/3$ ，阈值收入。

本题结论

（1） $m<-1$ ： $[1/(m+1),1]$ ； $m=-1$ ： $(-\infty,1]$ ； $-1<m<0$ ： $(-\infty,1]\cup[1/(m+1),+\infty)$ 。（2） $m\le1+2\sqrt3/3$ 。