平面几何的向量法：选表示、做运算、回到图形

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平行、垂直、等长分别对应不同向量关系。先根据图形选择基底或坐标，再把中点与分点转成代数表示；算完还要排除退化、恢复尺度，并把方向结论翻译成真正的几何结论。

一、知识点概念与依据

1. 长度、方向、角度分别用什么式子

线段AB的长度为 $|\overrightarrow{AB}|$ ，向量AB还带从A到B的方向，二者不是同类对象。向量方法分三步：几何关系转成向量式，做代数运算，再翻译回几何。

几何目标	向量入口	翻译回几何前的检查
方向共线	$\vec u=\lambda\vec v$	真实直线方向均须非零
两条直线平行	方向共线	还要排除两条直线重合
两直线垂直	$\vec u\cdot\vec v=0$	两方向向量均非零
两线段等长	用 $\lvert\mathbf u\rvert^2=\mathbf u\cdot\mathbf u$ 比较两段的模平方	模非负，才能由平方相等得模相等
求某顶点内角	以该顶点为共同起点的两向量	不能只反向其中一条

两个向量模相等只能证明长度相等，不证明它们相等或平行。两向量同时反向，点积与夹角不变；只反向一个时夹角变成补角。

2. 公共原点让中点、分点易表示

任选原点O，令点X的位置向量为 $\vec x=\overrightarrow{OX}$ 。从X到Y先回O再去Y，所以 $\overrightarrow{XY}=\vec y-\vec x$ 。

M为XY中点时 $\vec m=(\vec x+\vec y)/2$ 。若P在线段XY内部且 $XP:PY=m:n$ ，其中m、n均正，由 $\overrightarrow{XP}=\frac m{m+n}\overrightarrow{XY}$ 得

\vec p=\vec x+\frac m{m+n}(\vec y-\vec x)=\frac{n\vec x+m\vec y}{m+n}.

长度比不是照原顺序抄到位置向量系数。比如D在BC且BD:DC=1:2，从B到D只走全程的1/3，因此

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac13(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}).

3. 基底法与坐标法各有适用图形

图形条件	优先选择	后续运算依据
邻边、平行、分点关系多	两条不共线邻边作基底	唯一线性表示，配合基底模与点积
直角、正方形、水平竖直边	沿垂直方向建直角坐标	终点减起点，再用分量乘积和
直接给点坐标	沿用题设坐标系	先将点坐标转为目标位移

基底不必单位化，但必须不共线。若基底为a、b，长度、角度由 $|\vec a|^2,|\vec b|^2,\vec a\cdot\vec b$ 决定。非正交基底不能将系数直接当直角坐标作点积；直角坐标则要求两轴垂直、尺度单位一致。

4. 等长证明可归一，数值结果须恢复尺度

正方形等长证明可先设边长1，因为各长度都按同一正比例缩放，等长关系不变。一般边长s时，坐标和模都乘s，数量积与模平方都乘 $s^2$ 。

如果题目求具体长度、数量积或带单位的物理量，不能归一后忘记恢复尺度。几何证明还须检查点是否在线段内，组合向量是否退化，角度的两条射线是否指对方向。

5. 几何最值包括参数范围与可达性

动点在线段或区域中运动时，先将真实可行域写成参数约束。沿水平线段移动可设E=(x,h)，但x的区间来自实际线段，不能将包围区域的长方形当全部可行域。

数量积展开常变为二次式；模的最值可先求模平方，因为平方在非负数上保持大小关系。二次函数在闭区间的极值来自可行顶点与两端点，不能无条件采用全实数轴上的顶点值。

求最值需给等号对应的实际点；求完整范围还需说明中间值可取，例如目标沿连续线段连续变化。数量积可负，表示两非零向量夹角大于90°，不等于长度为负。

二、考点方法与例题

1. 先证明方向共线，再排除零向量与重合

中点关系适合选共同原点取平均，再用位移减法求连线向量。若化为某固定方向的数乘，先检查系数是否为0，最后结合位置证明两条直线不同，才能说平行。

例题 01 梯形两条对角线中点的连线

题目

如图，设 $P,Q$ 分别是梯形 $ABCD$ 的对角线 $AC,BD$ 的中点.试用向量的方法证明： $PQ//AB$ .

答案与解析

解析

以C为共同起点，中点公式给

\overrightarrow{CQ}=\frac12(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}),\qquad \overrightarrow{CP}=\frac12\overrightarrow{CA}.

两式相减，利用 $\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}$ ，得到

\overrightarrow{PQ}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}).

按四边形顶点顺序，两底AB、CD方向反向，设 $\overrightarrow{CD}=\lambda\overrightarrow{AB}$ ，λ<0。通常梯形指只有一组对边平行，因此两底不等长，λ≠−1，进而

\overrightarrow{PQ}=\frac{1+\lambda}{2}\overrightarrow{AB}\ne\vec0.

P、Q都位于两底之间的中间高度，PQ不与底边AB重合，所以两条不同直线方向共线，得PQ∥AB。

这里使用不包含平行四边形的梯形定义。若另一种口径也将平行四边形称作梯形，则两底等长时λ=−1，两对角线中点重合P=Q，不能由两个重合点定义直线PQ，也不能称其与AB平行。

本题结论

在通常只含一组平行对边的梯形定义下， $PQ\parallel AB$ 。

2. 坐标点积定直角，三边模排除其他形状

点坐标先转成目标位移。证明某顶点为直角时使用从该顶点出发的两向量，或说明将另一对向量同时反向不改夹角。选择题若另有等腰选项，还需比较边长，而非只算一个点积。

例题 02 由三个顶点判断三角形形状

题目

已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点分别是 $A\left( -1,0\right)$ ， $B\left( 1,0\right)$ ， $C\left( \frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ ，则 $\triangle ABC$ 的形状是（）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．斜三角形 D．等腰直角三角形

答案与解析

解析

$\overrightarrow{CA}=(-3/2,-\sqrt3/2)$ ， $\overrightarrow{CB}=(1/2,-\sqrt3/2)$ ，两者模平方分别为3与1，均非零。点积

\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-\frac34+\frac34=0,

故∠ACB=90°。三边长 $AB=2,AC=\sqrt3,BC=1$ ，两两不同。A不是等腰，D不是等腰直角；C的斜三角形表示没有直角，也不符。因此选B。

也可算AC与BC的点积：它们是CA、CB同时反向，点积仍为0，结论一致。但不能只反向其中一个后直接沿用一般夹角。

本题结论

选B，为非等腰的直角三角形。

例题 03 正方形内矩形的等长关系

题目

四边形 $ABCD$ 是正方形，P是对角线DB上一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形 $PFCE$ 是矩形，试用向量法证明： $PA=EF$ .

答案与解析

解析

矩形PFCE的水平边与竖直边可直接给出E、F坐标。

设正方形边长为s>0，取 $D=(0,0),C=(s,0),B=(s,s),A=(0,s)$ 。P在DB内部，设 $P=(s\lambda,s\lambda)$ ， $0<\lambda<1$ 。

由PFCE为矩形， $E=(s,s\lambda)$ ， $F=(s\lambda,0)$ 。于是

\overrightarrow{AP}=(s\lambda,s(\lambda-1)),\qquad \overrightarrow{FE}=(s(1-\lambda),s\lambda).

两模平方分别为

s^2[\lambda^2+(\lambda-1)^2],\qquad s^2[(1-\lambda)^2+\lambda^2],

显然相等。长度非负，取算术平方根得PA=EF。

设s=1也可以，因为两长度同步缩放，不改变等长关系。 $0<\lambda<1$ 排除端点，矩形不退化。本题只证等长，不能进一步断言AP与FE相等或平行。

本题结论

$PA=EF$ 。

3. 用不共线邻边表示分点，再代基底点积

先将分点比例换成走过整段的比例，再用首尾相接写向量。模平方三项完整展开；求顶点角时再与对应邻边做点积，并核两边均非零。

例题 04 三角形分点的长度与夹角

题目

如图所示，在 $\triangle ABC$ 中， $\angle BAC=120^{\circ}$ ， $AB=AC=3$ ，点 $D$ 在线段BC上，且 $DC=2BD$ ．求：

(1)AD的长；

(2) $\angle DAC$ 的大小．

答案与解析

解析

令 $\vec a=\overrightarrow{AB},\vec b=\overrightarrow{AC}$ 。两模为3，夹角120°，所以 $|\vec a|^2=|\vec b|^2=9$ ， $\vec a\cdot\vec b=-9/2$ 。

（1）DC=2BD意味着BD=BC/3，而不是2BC/3。因此

\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{BC} =\frac23\vec a+\frac13\vec b.

模平方为

|\overrightarrow{AD}|^2=\frac49\cdot9+\frac49\left(-\frac92\right)+\frac19\cdot9=4-2+1=3,

所以AD=√3。

（2）∠DAC由共同起点A的AD、AC构成。其点积

\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AC} =\frac23\left(-\frac92\right)+\frac13\cdot9=-3+3=0.

AD=√3与AC=3均非零，因此∠DAC=90°。如果改用DA而不同时反向另一条射线，就改变了角的对象；本题由于直角恰好等于其补角，也不应据此混淆一般方法。

本题结论

（1） $AD=\sqrt3$ ；（2） $\angle DAC=90^\circ$ 。

4. 坐标二次式求范围，先核分点和区间

沿固定垂直边建系，先确定固定分点位置，再用一个参数表示动点。将两个位移分别写成终点减起点，检查二次式顶点与端点，最后给出全范围可取的依据。

例题 05 梯形中数量积的可取范围

题目

在直角梯形 $ABCD$ 中，已知 $AB//CD$ ， $\angle DAB={90}^\circ$ ， $AB=2AD=2CD=6$ ，点 $F$ 是 $BC$ 边靠近 $B$ 点的三等分点，点 $E$ 是 $CD$ 边上一个动点．则 $\vec{EA}\cdot \vec{EF}$ 的取值范围是（）

A． $\left[ -\frac{1}{2},0\right]$ B． $\left[ 0,3\right]$ C． $\left[ -\frac{1}{4},0\right]$ D． $\left[ -\frac{1}{4},6\right]$

答案与解析

解析

E仅在线段CD上运动。

由 $AB=2AD=2CD=6$ 得AD=CD=3。建系取 $A=(0,0),B=(6,0),D=(0,3),C=(3,3)$ 。F靠近B，是从B往C走1/3，故 $F=B+(C-B)/3=(5,1)$ 。

设 $E=(x,3),x\in[0,3]$ 。则 $\overrightarrow{EA}=(-x,-3)$ ， $\overrightarrow{EF}=(5-x,-2)$ ，所以

\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EF}=x^2-5x+6=\left(x-\frac52\right)^2-\frac14.

可行顶点x=5/2给最小值−1/4；两端x=0、3分别给6、0，最大值6在E=D取得。动点包含端点，函数在整个闭区间连续，因此中间值都可取，范围 $[-1/4,6]$ ，选D。

A下界低于实际最小值且上界不足；B漏负值也漏最大值；C漏最大值。负最小数量积来自夹角为钝角，不表示EA或EF长度为负。

本题结论

选D，取值范围 $[-1/4,6]$ 。