两圆相减、公共弦与真交点

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相减保留公共点，但只有两个不同真实交点才构成公共弦。

一、知识点理解概念

两个不同的真圆相交于两个不同点 $A,B$ 时，线段 $AB$ 是公共弦，直线 $AB$ 是公共弦所在直线。方程表示无限直线，不是只表示有限弦段；相切只有一个公共点，不称有两个端点的真弦。

将两圆各自化为二次系数都是 $1$ 的形式，记

S_i=x^2+y^2+D_ix+E_iy+F_i,\qquad i=1,2.

两圆为 $S_1=0,S_2=0$ 。同时成立的点一定满足

L=S_1-S_2=(D_1-D_2)x+(E_1-E_2)y+F_1-F_2=0.

圆心不同意味着 $(D_1-D_2,E_1-E_2)\ne(0,0)$ ，所以 $L=0$ 是真直线。若已知两个不同公共点，它过这两点，由直线唯一性便是 $AB$ 。

反过来， $S_1=0$ 且 $L=0$ 时， $S_2=S_1-L=0$ 。因此差线与第一圆的交点恰好是两圆公共点。这一双向依据允许不先求交点坐标，但并未说差线上每一个点都是公共点。

圆心分别 $O_i=(-D_i/2,-E_i/2)$ ，所以差线法向量等于 $-2(O_1-O_2)$ ，与圆心连线平行；差线垂直圆心连线。

若确有两个不同交点，取任一圆心到差线的距离 $h$ ，先核 $h<r$ ，再由垂足平分弦得

AB=2\sqrt{r^2-h^2}.

用两个圆各自的 $r,h$ 算出的同一公共弦应相等，可互相验算。这里用 $h$ 表弦心距，不与两圆中心距混淆。

两个不同圆相切时差线过唯一切点并垂直圆心连线，但没有两端真弦；两圆不相交时差线仍可能存在，只是没有圆上的公共弦。它表示两个归一化圆多项式值相等的位置，并不是两多项式都为零的证明。

同心时 $D_1=D_2,E_1=E_2$ ，差式只剩常数：常数非零意味着无解，不是一条直线；常数也零为 $0=0$ ，两圆重合，不能据此求唯一直线。先检两圆正半径；同心等半径有无穷公共点和公切线，同心不等半径没有公共点也没有公切线。内切必须中心距大于零，不以差为零就判断。

每个圆都先展开为同样的“ $=0$ ”形式，常数中别漏移半径平方；归一化后相减。核法向量非零，并由已给两个不同交点、两圆位置，或差线到圆心距离严格小于半径，说明真的有弦。要实际交点再联立其中一圆，另一圆由差式自动满足。

已知圆 ${C}_{1}$ ： ${\left( x-2\right)}^{2}+{\left( y+3\right)}^{2}=16$ 与圆 ${C}_{2}$ ： ${x}^{2}+{\left( y-2\right)}^{2}=10$ 相交于A，B两点，则直线 $AB$ 的方程为（）

A． $4x-10y-3=0$ B． $4x+10y+3=0$

C． $4x-10y-9=0$ D． $4x+10y+9=0$

答案与解析

先分别展开：

S_1=x^2+y^2-4x+6y-3,\qquad S_2=x^2+y^2-4y-6.

相减 $S_1-S_2=-4x+10y+3$ ，乘 $-1$ 得

4x-10y-3=0.

题干已给两个不同公共点，它们满足差式；差线法向量 $(4,-10)$ 非零，因此唯一就是直线 $AB$ ，选 A。B、D的方向系数符号不符，C常数也不同，都不是这条唯一过两公共点的线。

再验真弦：第一圆心 $O_1=(2,-3)$ 、半径 $4$ ，到差线的距离平方

h_1^2=\frac{(8+30-3)^2}{4^2+(-10)^2}=\frac{1225}{116}<16.

于是差线与第一圆有两个不同交点；在这些点差式为零又迫使第二圆为零，充分性也成立。第二圆心 $(0,2)$ 的距离平方为 $529/116$ ，并有 $16-1225/116=10-529/116$ ，与同一半弦相符。

如果换成不相交的两圆，差线虽可能存在却无真公共弦；同心时一次项全消，剩常数式甚至不是直线，不能仅靠“相减”二字跳过条件。

先确认相交，再用相减求公共弦线；选计算方便的圆心求弦心距，核距离小于其半径后算整弦。需要时用另一圆验算，或联立差线与圆核两个不同实根。不能把半弦漏乘 $2$ 。

已知圆 ${C}_{1}:{x}^{2}+{\left( y-2\right)}^{2}=5$ 和 ${C}_{2}:{\left( x+2\right)}^{2}+{y}^{2}=5$ 交于A，B两点，则 $\left| AB\right|=$ （）

A． $\sqrt{3}$ B． $2\sqrt{3}$ C． $\sqrt{23}$ D． $2\sqrt{23}$

答案与解析

两个圆心为 $(0,2),(-2,0)$ ，半径均 $\sqrt5$ 。中心距 $2\sqrt2$ 严格在 $(0,2\sqrt5)$ 内，真有两个交点。

展开为 $S_1=x^2+y^2-4y-1$ ， $S_2=x^2+y^2+4x-1$ ，相减为 $-4x-4y=0$ ，所以弦线为 $x+y=0$ 。

第一圆心到该线距离 $h=|0+2|/\sqrt2=\sqrt2<\sqrt5$ ，半弦平方 $5-2=3$ ，整弦

AB=2\sqrt3,

选 B。第二圆心到该线也是 $\sqrt2$ ，结果相同。A只给半弦，C、D不满足整弦平方 $12$ 。

保留原补充的联立核验： $y=-x$ 代第一圆得 $x^2+(-x-2)^2=5$ ，即 $2x^2+4x-1=0$ ，判别式 $16+8=24>0$ 。两根给两个不同公共点，另一圆由差式同为零，不是凭空的一条“弦”。