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外观

分层抽样：分层依据、配额与总体权重

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先保证各层互斥而完整，再在层内随机抽取。比例分配是一种配额方案，不是所有分层设计的定义。

一、知识点 概念与依据

分层与比例分配分两层说

分层随机抽样将总体按一个或多个变量划为若干层，每单位属于且只属于一层；各层独立进行简单随机抽样，再合并样本。层间调查指标差异明显、希望每层都有数据时，常有分层理由。只看标签方便而不看目标指标，未说明它为何适合本次调查。

记总体量 N=∑iNiN=\sum_iN_i、样本量 n=∑inin=\sum_i n_i。比例分配使样本层结构与总体一致，即 ni/n=Ni/Nn_i/n=N_i/N，因而

ni=nNiN,niNi=nN.n_i=n\frac{N_i}{N},\qquad\frac{n_i}{N_i}=\frac nN.

层内不放回时，一个第 ii 层单位最终入样率为 ni/Nin_i/N_i。可以因研究目的给小层更多样本，仍为分层设计，但通常不再人人等机会。总体量较大的层并不自动使其中每人概率较大，要看实际抽样比。

整数配额与两套权重

配额 nin_i 为整数且 0≤ni≤Ni0\le n_i\le N_i，合计必须为 nn；若要估计每层均值，非空层还须有 ni>0n_i>0。比例式算出非整数时，严格比例不一定能与全部整数配额并存，应按规则分配、记录实际配额、重新核总数与机会，不能各层随意四舍五入后不管合计。

方案第 ii 层入样率估计总体均值的权重
比例分配ni/Ni=n/Nn_i/N_i=n/NNi/N=ni/nN_i/N=n_i/n，与普通合并样本均值一致
非比例配额实际 ni/Nin_i/N_i，各层可不同用总体层权重 Ni/NN_i/N，一般不同于 ni/nn_i/n

原因是第 ii 层真实总和为 NiN_i 乘该层真实均值，总体均值是按 Ni/NN_i/N 加权。以该层样本均值估计层均值后，仍使用这套总体权重；普通合并样本均值却按 ni/nn_i/n 加权。没有某层数据时，不可拿其他层均值直接补成该层或全体结论。

二、考点 方法与例题

设计方案要交代六件事

  1. 定研究目标、总体名册和单位，保证要推广的范围被覆盖。
  2. 依据与目标有关的差异选分层变量，而不是只因有两种标签。
  3. 核层互斥完整，多个变量取交叉层，连续区间端点不重不漏。
  4. 说清采用比例还是题给非比例配额，核整数、容量、总量与缺层。
  5. 各层分别编号、独立随机抽，按放回规则处理重复。不同层号码可相同，但记录须带层标签。
  6. 合并样本并交代后续均值权重，不能将“分层”自动替换成“比例”。

定完配额后不能改在全体随意抽足总数，否则不保证各层配额。小总体也可分层，是否方便不代替层间差异判断；各层可分别用抽签或随机数，工具不同不是冲突，关键是各自合格随机。层内只选优秀者或容易联系的人仍有偏向。

例题 01 课外阅读时间的抽样方法

题目

为了了解某县中小学生课外阅读时间情况，拟从该县的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该县小学、初中、高中三个学段学生的课外阅读时间存在较大差异，而男、女生的阅读时间差异不大，则最合理的抽样方法是（    ）

A．按性别分层随机抽样 B．按学段分层随机抽样

C．抽签法 D．随机数表法

答案与解析

解析

题给学段之间阅读时间差异明显，而性别差异较小，优先按小学、初中、高中分层，选B。抽签和随机数表是层内可用的随机工具，不代替先确保各学段有样本的整体设计。题中没有学段人数与样本总量，不能虚造配额。

本题结论

B

例题 02 三个等级产品的抽取方案

题目

一批产品中有一级品100100个，二级品6060个，三级品4040个，用分层随机抽样法从这批产品中抽取一个容量为2020的样本．请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．

答案与解析

解析

给出一个比例分配方案，题目只说分层时它不是唯一可能配额：

  1. 按一级、二级、三级划为3个互斥完整层，总体 100+60+40=200100+60+40=200。
  2. 选择比例抽样比 20/200=1/1020/200=1/10，配额依次为10、6、4，合计20，各不超过层容量。
  3. 分别编号：一级00至99，二级00至59，三级00至39，记录同时带等级标签。
  4. 各层独立用等可能随机数不放回抽取，舍该层越界号及已接受的重复号，直到分别抽满10、6、4。
  5. 合并20件，不将不同层的同号例如00误认成同一产品。

这样既给出配额，也给出可实施的层内随机机制；不能只写“分层抽20个”便省掉步骤。

本题结论

可采用比例配额10、6、4，分层编号后各层独立不放回随机抽取。

分层机会使用实际层内抽样比

先定配额，再算 ni/Nin_i/N_i。比例条件明确时可统一为 n/Nn/N；只给“分层”与总样本量，不足以唯一决定各层样本数。由机会反求人数后须核整数与容量，固定次机会则回到简单随机抽样的时点区别，不与最终入样混用。

例题 03 三个年级的入样机会

题目

某校有700名高一学生，400名高二学生，400名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用按比例分配的分层抽样的方法在全校抽取15名学生进行某项调查，则下列说法正确的是（   ）

A．高一学生被抽到的概率最大 B．高三学生被抽到的概率最大

C．高三学生被抽到的概率最小 D．每位学生被抽到的概率相等

答案与解析

解析

本题明确比例分配，总体 700+400+400=1500700+400+400=1500，样本15。三层配额为7、4、4，入样率分别 7/700=4/400=4/400=1/1007/700=4/400=4/400=1/100，每人相同，选D。高一人数和配额都较大，但个人率不较大。原解析说所有分层每人的抽样概率相同，省略了比例分配与层内不放回随机抽样的前提。本题具备这些前提，D不变；不能推广成所有分层设计都等机会。

本题结论

D

例题 04 按给定名额抽取艺人

题目

某电视台举行颁奖典礼，邀请20名甲､乙､丙地艺人演出，其中从30名丙地艺人中随机挑选10人，从18名甲地艺人中随机挑选6人，从10名乙地艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人.

答案与解析

解析

按题给地区与名额分别抽，不能为凑统一抽样比改动人数。

地区总体人数抽取人数编号最终入样率
丙301001至301/31/3
甲18601至181/31/3
乙10401至102/52/5

各层为每位艺人制同质、不易辨号码的签，分别放入不透明容器充分混匀，独立逐个不放回抽到该层规定人数，再按“地区+编号”还原艺人，合并 10+6+4=2010+6+4=20 人。

三层覆盖全体且层内随机，是题给非比例方案，乙层率与另两层不同。若后来用这些样本估计同一变量的全体均值，总体权重应为 30/58,18/58,10/5830/58,18/58,10/58；普通样本均值权重却为 10/20,6/20,4/2010/20,6/20,4/20，会给乙层更大的比重。题中未给观测值，不能制造具体均值。

本题结论

分地区分别抽签取10、6、4人；这是非比例分层方案。

三、坑点 边界与纠错

分层不等于人人同概率

互斥完整分层、层内独立随机是结构条件；统一抽样比是比例分配的额外条件。非比例或整数调整后，应使用实际配额重新检查机会与权重，不一边改配额一边照用精确等比例结论。

反求人数还须核可实施性

由 n/N=pn/N=p 得 N=n/pN=n/p 要求 p>0p>0，所得人数须为整数且 n≤Nn\le N。各层都要核容量，合计仍为总样本量；非空层未抽样时不能直接估计其均值。只看到最终机会相等也不能反向证明选取规则正确。