约 1874 字大约 6 分钟
回归线给趋势，不把随机响应、实际观测和拟合值混成同一个量。
观察 n 对可比较数据 (xi,yi)，x 为解释变量，Y 为随机响应。线性统计模型
Y=a+bx+e
中，a,b 为真实但未知的截距、斜率，e=Y−(a+bx) 为未解释波动。课内常设给定 x 时误差平均0、方差 σ2>0 且不随 x 改变；方差单位为响应单位的平方。正方差描述有波动的模型，无波动是退化情形，并非一切现实过程必须正方差。
| 符号 | 意义 | 注意 |
|---|---|---|
| Y | 给定条件下的随机响应 | 仍可上下波动 |
| yi | 实际取得的一次观测 | 不保证恰在拟合线上 |
| y^=a^+b^x | 样本估计得到的拟合或预测值 | 不等于未知真实参数所定义的全部响应 |
| e 与样本残差 | 前者依未知 a,b，后者为 yi−y^i | 不直接等同 |
样本改变，a^,b^ 通常也会改变，不能声称是总体真实参数。
散点围绕直线波动，用 a+bx 表达趋势，其余定义成误差。给定 x 误差平均0，使直线表达该条件下的平均趋势。若 X 本身随机，仅整体 E(e)=0 不够，须 E(e∣X=x)=0 才得 E(Y∣X=x)=a+bx；“给定X”是只在相同解释变量条件下比较响应，此为拓展。
样本不是那条真实线，普通最小二乘按 ∑[yi−(a+bxi)]2 最小选择经验系数，不要求点全在线上。这个代数计算可对许多数据完成，不证明零条件均值、同方差等统计前提已验证；唯一斜率还需 x 不全相同。
拟合线上的预测差为 Δy^=b^Δx，不是两个实际观测必差同样多。解释截距时须 x=0 有现实意义并在合理范围内。预测应核成对可比数据、散点及残差对趋势的支持、样本背景、群体、单位及取值范围；模型延长线的交点未必是可实现对象。
相关、残差小或高决定系数都不能单独证明因果；主动改变 x 不保证实际响应按斜率变化。用“按当前模型预测约……”并说明趋势继续适用假设，不写个体“必有”。
题目
下列有关一元线性回归分析的命题正确的是（ ）
A．若两个变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r就越接近于1
B．经验回归直线是经过散点图中样本数据点最多的那条直线
C．在经验回归方程y^=2−0.5x中，若解释变量x增加1个单位，则预测值y^平均减少0.5个单位
D．若甲、乙两个模型的决定系数R2分别为0.87和0.78，则模型乙的拟合效果更好
解析
A错误：强线性关系的 ∣r∣ 接近1，强负相关的 r 接近-1。
B错误：含截距普通最小二乘最小化响应方向残差平方和 ∑(yi−y^i)2，不是穿过最多点，也非未经说明的任意“误差最小”。
C作预测差 [2−0.5(x+1)]−[2−0.5x]=−0.5，拟合值减少0.5单位，正确，不保证每个实际个体恰减少0.5。
D在同一响应样本、同尺度下，0.87的甲解释更多样本变异，应是甲拟合更好；不能把这个比较扩大到不同数据集或变换前后的响应。因此选C。
本题结论
C
题目
某市卫健委为了研究本市初中男生的脚长x（单位：cm）和身高y（单位：cm）的关系，从该市随机抽取100名初中男生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系.设其经验回归方程为y^=4x+a^，∑i=1100xi=2250，∑i=1100yi=16000，若该市某位初中男生的脚长为25cm，据此估计其身高为（ ）
A．166cm B．168cm C．170cm D．172cm
解析
总和除100得 xˉ=22.5 cm、yˉ=160 cm。中心满足 160=4×22.5+a^，所以 a^=70 cm。代入 x=25 得 y^=4×25+70=170 cm，选C，另三项不等于代入结果。
斜率4表示脚长每增加1 cm，模型预测身高增加4 cm；截距70仅是拟合线在 x=0 的值，零脚长不属现实适用范围，不能解释为某种实际身高。170 cm是估计，个体可偏离；仅知平均22.5而未知最小最大值，不能断言25必在样本范围内。
若两轴同时由cm改m，x′=x/100,y′=y/100，预测式变为 y^′=4x′+0.7，斜率仍4，截距0.7 m，不是70 m。
本题结论
C（模型估计170 cm）
给定解释变量时仍可有随机波动。经验预测的差是 b^Δx，实际差还受误差和其他因素影响；高相关、高拟合度都不能单独支持因果。
代数拟合与零条件均值、同方差等模型假设分别核。截距、外推及个体解释要符合范围和单位，不把样本系数当未知真实参数。
