柱锥台的面积、体积与分割

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先分清侧棱、斜高和体高，再决定统计哪些面、选哪个底。公式中的每一个长度都对应确定的几何对象。

一、知识点理解概念

1. 面积中的长度与体积中的高

侧面积只算侧面；封闭体总表面积还要加底面。统一用 $h$ 表示垂直高、 $l$ 表示母线、 $h_s$ 表示正棱锥或正棱台的共同斜高。

几何体及条件	侧面积	总表面积需再加
直棱柱，底周长 $C$	$Ch$	两底面积 $2S$
正棱锥，底周长 $C$	$Ch_s/2$	一个底面积 $S$
正棱台，上下底周长 $C_1,C_2$	$(C_1+C_2)h_s/2$	$S_1+S_2$
圆柱，半径 $r$	$2\pi rh$	$2\pi r^2$
圆锥，半径 $r$ 、母线 $l$	$\pi rl$	$\pi r^2$
圆台，半径 $R>r>0$ 、母线 $l$	$\pi(R+r)l$	$\pi R^2+\pi r^2$

前三式来自矩形、三角形或梯形侧面逐个求和；一般斜棱柱或非正棱锥、棱台的侧面高未必相同，应逐面计算。圆柱侧面展开为周长乘高的矩形；圆锥侧面扇形面积是“弧长 $2\pi r$ 乘半径 $l$ 的一半”，故为 $\pi rl$ 。圆台侧面扇环是两个同角扇形之差，面积为两弧长之和乘径向差的一半，故为 $\pi(R+r)l$ 。

2. 柱、锥、台体积及台公式的由来

V_{\text{柱}}=Sh,\qquad V_{\text{锥}}=\frac13Sh,\qquad V_{\text{台}}=\frac h3(S_1+\sqrt{S_1S_2}+S_2).

无论柱或锥的侧棱是否倾斜， $h$ 都是垂直高。柱公式可由等截面积的层理解，并用祖暅原理推广到斜柱；锥的系数 $1/3$ 作为基本结论使用。仅凭“截面逐渐缩小”不能证明这个系数。

台必须由同一锥体的平行底面截得。设大锥高 $H$ 、底面积 $S$ ，小锥相似比 $0<k<1$ ，则上底 $S_1=k^2S$ 、下底 $S_2=S$ ，台高 $h=(1-k)H$ 。相减得到

V=\frac{SH}{3}(1-k^3)=\frac{Sh}{3}(1+k+k^2).

代入 $kS=\sqrt{S_1S_2}$ 即得台公式。交叉项来源于相似比，不能漏掉。圆台由两底面积 $\pi r^2,\pi R^2$ 得

V=\frac{\pi h}{3}(r^2+rR+R^2).

3. 用垂足把侧棱或母线换成高

圆锥 $h=\sqrt{l^2-r^2}$ ；圆台 $h=\sqrt{l^2-(R-r)^2}$ ，非退化时根号内必须为正。正棱台若给侧棱，其水平位移是底面中心到对应顶点的距离差，而不是中心到边中点的距离差；后者与斜高相联系。

高、侧棱、母线的共同点是长度，区别是垂直对象。面积单位为平方、体积单位为立方，只查量纲不能发现“用错哪条长度”，还要检查垂足。

二、考点方法与例题

1. 列清外表面，再代面积公式

先确认直、正等条件，再列侧面和底面。明确求侧面积还是总表面积；开口容器的材料面积须按实际存在的面处理。

例题 01 四棱柱的表面积

在四棱柱 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 中，底面ABCD是正方形， ${A}_{1}A\perp$ 底面ABCD， ${A}_{1}A=2$ ， $AB=1$ ，则该四棱柱的表面积为（）

A．10 B．8 C．4 D．2

答案与解析

底面是正方形且侧棱垂直底面，故是正四棱柱，侧棱长 $2$ 就是高。

四个侧面面积和为 $4\times1\times2=8$ ，两底面积和为 $2\times1^2=2$ ，总面积 $10$ ，选 A。B 的 $8$ 只算侧面积，D 的 $2$ 只算两底，C 的 $4$ 也非全部六面的面积和。

例题 02 圆锥的侧面积

已知圆锥的母线长为2，底面半径为1，则圆锥的侧面积为（）

A． $4\pi$ B． $4\sqrt{3}\pi$ C． $2\pi$ D． $2\sqrt{3}\pi$

答案与解析

侧面展开为半径 $l=2$ 、弧长 $2\pi r=2\pi$ 的扇形，面积为 $\frac12\times2\pi\times2=2\pi$ ，选 C。其余 $4\pi,4\sqrt3\pi,2\sqrt3\pi$ 均不等于此值。

若问总表面积才再加底面积 $\pi$ ；若问体积才需先求垂直高 $\sqrt3$ 。本题不应把 $h$ 代入侧面积式。

2. 先求垂直高，再求台体积

将所给侧棱或母线放入包含其垂直投影的直角三角形，求出高。分别求两底面积和几何平均项，最后代台公式；检查根号正值和上、下底的对应位置。

例题 03 正四棱台的体积

已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2，8，侧棱长为 $3\sqrt{5}$ ，则该正四棱台的体积为（）

A． $68\sqrt{3}$ B． $68\sqrt{2}$ C． $84\sqrt{3}$ D． $84\sqrt{2}$

答案与解析

上、下底中心到对应顶点距离分别为 $\sqrt2$ 、 $4\sqrt2$ ，所以侧棱在水平面的投影长为 $3\sqrt2$ 。

h^2=(3\sqrt5)^2-(3\sqrt2)^2=45-18=27,\qquad h=3\sqrt3.

两底面积 $4,64$ ，交叉项为 $\sqrt{4\times64}=16$ ，所以

V=\frac{3\sqrt3}{3}(4+16+64)=84\sqrt3.

选 C。A 的系数 $68$ 漏掉了交叉项；B、D 也与实际高 $3\sqrt3$ 不符。图中 $EE_1$ 是边中点连线即斜高，不能与侧棱 $BB_1$ 混用。

例题 04 圆台的侧面积与体积

已知圆台上、下底面面积分别是 $\pi$ 、 $9\pi$ ，其侧面积是 $12\pi$ ，则该圆台的体积是（）

A． $\frac{13\sqrt{5}}{3}\pi$ B． $\frac{13\sqrt{3}}{3}\pi$ C． $4\sqrt{5}\pi$ D． $13\sqrt{3}\pi$

答案与解析

由两底面积得半径 $r=1,R=3$ 。侧面积 $\pi(r+R)l=12\pi$ 给母线 $l=3$ 。

轴截面中水平差为 $R-r=2$ ，故 $h=\sqrt{3^2-2^2}=\sqrt5$ 。体积

V=\frac{\pi\sqrt5}{3}(1+3+9)=\frac{13\sqrt5}{3}\pi.

选 A，其他三项不符合该结果。母线 $3$ 用于侧面积，垂直高 $\sqrt5$ 用于体积，不能让同一个数同时充当两者。

3. 分割与等体积转化

同底锥比体积就是高比，同高锥比体积就是底面积比，同底等高锥与柱的体积比为 $1:3$ 。复杂截切体可以换底换顶点或补成柱体，但底与高必须成对更换。分块内部不重叠时才能直接相加。

例题 05 三棱柱中的四棱锥

如图，在三棱柱 $ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 中， $D$ ， $E$ 分别是 $A{A}_{1}$ 和 $B{B}_{1}$ 的中点，记 ${C}_{1}-{A}_{1}{B}_{1}ED$ 和 $ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 的体积分别为 ${V}_{1}$ ， ${V}_{2}$ ，则（）

A． ${V}_{1}=\frac{1}{3}{V}_{2}$ B． ${V}_{1}=\frac{1}{6}{V}_{2}$

C． ${V}_{1}=\frac{1}{4}{V}_{2}$ D． ${V}_{1}=\frac{3}{8}{V}_{2}$

答案与解析

取 $CC_1$ 的中点 $F$ ，连接 $DF,EF$ 。

三条侧棱平行等长，故 $DEF$ 是将底面 $ABC$ 平移半条侧棱得到的平面三角形，与两底平行全等。上半三棱柱体积为 $V_2/2$ ，这里用的是垂直高减半，不要求原柱是直棱柱。

三棱锥 $C_1-DEF$ 与该上半柱同底等高，体积为 $V_2/6$ 。将它从上半柱扣去，余下即四棱锥 $C_1-A_1B_1ED$ ，所以

V_1=\frac12V_2-\frac16V_2=\frac13V_2.

选 A； $1/6$ 是被扣小锥的比例， $1/4$ 与 $3/8$ 均不是余体比例。