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外观

分组数据的集中趋势估计

约 2023 字大约 7 分钟

整组频率可以确定，组内具体值已经丢失。均值用中点替代，中位数用累计面积插值，众数组与原始众数要分开。

一、知识点 概念与依据

三种估计所作的假设

先由各组宽 djd_j 与密度高 hjh_j 得频率 fj=djhj≥0f_j=d_jh_j\ge0，核和为1，未知高先用总面积解。以下使用连续分组，不是完整原值。

量常用估计假设与限制
均值μ^=∑jcjfj\widehat\mu=\sum_jc_jf_j，cj=(Lj+Uj)/2c_j=(L_j+U_j)/2每项暂以所在组中点替代，频率作权重
中位数m^=L+d(0.5−F)/f\widehat m=L+d(0.5-F)/f中位组内均匀密度，f>0f>0；FF 为之前累计频率
众数等宽最高柱组的中点给常见区域的约定估计，不保证是实际最高频数值

中点均值的来源是该组替代后总和 ncjfjnc_jf_j，全体相加再除 nn。若每个非空组真实均值都恰等组中点，能保证它等于真实均值；一般不知道组内值，不能保证。不能简单平均中点，除非各组频率相等。

中位数按缺少面积定位

先累计找到 F≤0.5≤F+fF\le0.5\le F+f 的正频率组，左端 LL、宽 dd。达到半面积尚缺 0.5−F0.5-F，该组假设均匀密度 h=f/dh=f/d，故所需长度

t=0.5−Fh=d(0.5−F)f,m^=L+t.t=\frac{0.5-F}{h}=\frac{d(0.5-F)}f,\qquad\widehat m=L+t.

不是一律取该组中点，也不是恢复原样本排序中间两项。若0.5恰在组边界，面积模型可取该边界；若零密度空档中累计已恰0.5，平分面积的位置可能是一段区间，须另定代表值，不可在 f=0f=0 上除。

等宽最高柱也有最大频率；不等宽最高柱只表最大密度，可能不是人数最多组，须交代采用哪种模型。最高组中点可能从未出现，该组也可由许多不同值组成，而较小组某个值重复最多，所以真实众数甚至可能不在最高组。并列最高柱可给多个候选，信息不足不能强选唯一值。

原始中位数要求两侧“不大于”和“不小于”的数据各至少一半，重复值同时计两侧；直方图平分面积却是连续组内模型，两者不可混为精确恢复。

二、考点 方法与例题

先还原占比，再注明估计

  1. 读各组区间、宽度、轴名，用面积得频率，核非负及总和。
  2. 均值列中点乘频率；中位数列累计面积；众数说明等宽最高柱中点的约定。
  3. 检查模型所需正频率、端点、并列最高及空档等边界。
  4. 保留中间精度，最后依题舍入，写单位与“估计”。只给分组信息却要求精确统计量时，说明缺少具体值，不偷偷添加均匀假设。

例题 01 语文成绩的分组估计

题目

某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：[40,50)\left[ 40,50\right)，[50,60)\left[ 50,60\right)，…，[80,90)\left[ 80,90\right)，[90,100]\left[ 90,100\right]．

原题配图
原题配图

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位）

答案与解析

解析

（1）组距10，已知柱高和0.094，总高度须0.1，故 a=0.006a=0.006。

区间中点频率累计频率
[40,50)[40,50)450.040.04
[50,60)[50,60)550.060.10
[60,70)[60,70)650.220.32
[70,80)[70,80)750.280.60
[80,90)[80,90)850.220.82
[90,100][90,100]950.181.00

（2）0.5位于 [70,80)[70,80) 的面积内。按组内均匀密度，缺面积0.18，向右长度 0.18/0.028=45/70.18/0.028=45/7，估计中位数 70+45/7≈76.470+45/7\approx76.4 分。

中点加权均值 45(0.04)+55(0.06)+65(0.22)+75(0.28)+85(0.22)+95(0.18)=76.245(0.04)+55(0.06)+65(0.22)+75(0.28)+85(0.22)+95(0.18)=76.2 分。

这分别依赖组内均匀插值与中点替代；不能由图保证100个原值真实中位数76.4、真实均值76.2。题问的是估计，最后保留一位小数。

本题结论

（1）a=0.006；（2）估计中位数76.4分、平均数76.2分

例题 02 体检数据的直方图描述

题目

学校为了解全校1800名学生的身体肥胖情况，随机抽取了100名学生的体检数据，将其BMI值分成以下五组：[12,16)\left[ 12,16\right)，[16,20)\left[ 16,20\right)，[20,24)\left[ 20,24\right)，[24,28)\left[ 24,28\right)，[28,32]\left[ 28,32\right]，得到相应的频率分布直方图，如图所示.则下列说法错误的是（   ）

原题配图  

A．a=0.04a=0.04

B．估计样本的中位数为23

C．估计样本的众数为22

D．估计全校学生BMI值落在区间[28,32]\left[ 28,32\right]的人数为36人

答案与解析

解析

逐项判断，按题目分组模型估计：

  • A：组距4，总高度 1/4=0.251/4=0.25，已知高和0.21，所以 a=0.04a=0.04，正确。组频率为 0.04,0.16,0.40,0.32,0.080.04,0.16,0.40,0.32,0.08。
  • B：前两组累计0.20，前三组0.60，按 [20,24)[20,24) 的均匀密度0.10插值，20+(0.5−0.20)/0.10=2320+(0.5-0.20)/0.10=23，估计成立。
  • C：等宽最高柱为 [20,24)[20,24)，按常用中点约定估计众数22，成立。实际众数未必22，甚至未必位于此组。
  • D：末组面积 4×0.02=0.084\times0.02=0.08，估计全校人数约 1800×0.08=1441800\times0.08=144。36漏乘组距4，错误，故选D。

144仍为总体估计，不是普查人数。这里只做题给数值分组的统计描述，不据此给任何个体作健康判定。

本题结论

D；所求总体人数估计应约144人

三、坑点 边界与纠错

中点替代不会恢复原记录

整组人数可由面积及容量还原，但均值、中位数、众数的精确值一般不能。分组中点不是全部真实值，最高组中点不是已证实的原始众数。需要估计就写模型，需要精确值而信息不足就明确边界。

原资料将“最高矩形中的横坐标”直接称为原数据众数，并称中位数两侧“各有50%个体”，这两种表述不严：前者是按最高密度组中点作常用估计，并非原始众数；原始中位数要求不大于与不小于它的数据各至少一半。原解另写“平均数为”，须结合题目的“估计”理解为中点加权估计，而非原始均值的精确恢复。

同一组内的位置不必居中

中位数所需宽度由缺少面积除密度决定；不固定半个组距。均值则按频率加权，不给每组同等权重。并列峰或零密度空档须另外处理，不用单一公式掩盖非唯一性。