固定次数、同一个成功概率、各次相互独立，三者缺一不可。先检查模型，再把文字条件翻译为整数次数范围。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

四个条件共同确定模型

固定进行 $n$ 次，每次将结果分成目标事件“成功”与“失败”，成功概率同为 $p$，各次相互独立，称 $n$ 重伯努利试验。成功可以是故障或不达标，只是所计目标的名字。若 $X$ 是成功次数，记 $X\sim B(n,p)$。

相互独立指任意选定试验的指定结果联合概率能分解，不能只检查一对或只看全部成功的一个交事件。课内通常 $n$ 为正整数、$0<p<1$；端点扩展时 $n=0$ 或 $p=0$ 有 $X=0$，$p=1$ 有 $X=n$，直接列常量分布，不未经约定计算 $0^0$。

成功位置数乘一种模式的概率

恰成功 $k$ 次，成功位置有 $\binom nk$ 种。每种完整模式因相互独立，概率为 $p^k(1-p)^{n-k}$，不同模式互斥，所以

$$P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,\ldots,n.$$

全部模式完整覆盖，概率和1；也可由二项展开 $(p+1-p)^n=1$ 验证。组合系数数模式，乘积来自独立，不能漏其中之一。

数字特征由指标相加得到

令第 $i$ 次成功指示为 $I_i$，则 $X=\sum I_i$。每个 $E(I_i)=p$，期望线性得 $E(X)=np$，这一步无需独立。各指标独立使交叉协方差0，才有 $D(X)=\sum D(I_i)=np(1-p)$，标准差是其非负平方根。

所问	使用量
平均成功数	$np$
成功数的波动	$np(1-p)$
最可能的实际次数	相邻概率比判众数

均值不是众数定义；$aX+b$ 可用线性数字特征，却一般不是另一个同参数的二项成功次数。

考点

先列分布，再按目标求和或补集

写明每次对象、固定次数、目标事件和同概率独立依据。多类别合并目标时先按互斥加法求 $p$，不要求同件互斥类别独立，需要的是不同件独立。

将至少、至多、恰好转成与 $0,1,\ldots,n$ 相交的整数范围，再求互斥和；实数界要取合法整数。至少一次的补集是零次，故 $P(X\ge1)=1-(1-p)^n$，不等于全成功 $p^n$。最后核方向、单位和概率范围。

例题 01 三台设备与网络运行

题目

已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉．如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.8，它们之间互相不影响．设能正常工作的设备数为$X$．

(1)求$X$的分布列；

(2)求$E\left( X\right)$和$D\left( X\right)$；

(3)求计算机网络不会断掉的概率．

答案与解析

解析

题给每台正常概率0.8且互不影响，按相互独立模型，正常台数 $X\sim B(3,0.8)$。

（1）$P(X=k)=\binom3k0.8^k0.2^{3-k}$，得到

$X$	0	1	2	3
概率	0.008	0.096	0.384	0.512

中间两项各有3种正常设备位置，四项非负且和1。

（2）$E(X)=3\times0.8=2.4$，$D(X)=3\times0.8\times0.2=0.48$。

（3）网络正常要求 $X\ge1$，因此 $P(\text{正常})=1-P(X=0)=0.992$，不是三台全正常的0.512。若故障有共同原因、不满足独立，不能沿用此乘积。

本题结论

（1）见表；（2）2.4、0.48；（3）0.992。

例题 02 四次成功计数的特征

题目

已知随机变量$X~B\left( 4,\frac{1}{3}\right)$，下列表达式正确的是（   ）

A．$P(X=2)=\frac{4}{81}$ B．$E(3X+1)=4$ C．$D(3X+1)=8$ D．$D(X)=\frac{4}{9}$

答案与解析

解析

$n=4,p=1/3$，故 $E(X)=4/3$、$D(X)=8/9$。

$$P(X=2)=\binom42\left(\frac13\right)^2\left(\frac23\right)^2=6\times\frac4{81}=\frac8{27}.$$

A漏了6种成功位置。$E(3X+1)=3(4/3)+1=5$，B漏掉平移1；$D(3X+1)=9(8/9)=8$，C正确；D与 $8/9$ 不符。变换后的完整取值为1、4、7、10、13，并非成功计数，不能直接宣称仍为同参数二项。

本题结论

C。

反求参数先检查端点，再约分

$n$ 必须是题定范围内整数，$p\in[0,1]$。先代概率公式，区间条件先化成合法整数求和。正概率可排除相应端点，但两个概率相等可能是两者都0，约去 $p$ 或 $1-p$ 前必须检查。

若出现 $[p(1-p)]^2$，利用 $p(1-p)\ge0$ 取非负平方根，并保留所有合法根。若均值、方差同时给出且 $E(X)>0$，则 $D/E=1-p$，先求 $p$ 再求 $n=E/p$；若均值0，回到 $np=0$ 分退化情况，不能除0。最后回代所有条件。

例题 03 由指定次数概率反求成功率

题目

已知随机变量$X~B\left( 4,p\right)$，若$P\left( X=2\right)=\frac{8}{27}$，则$p=$（    ）

A．$\frac{1}{4}$ B．$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$ C．$\frac{1}{3}$ D．$\frac{1}{3}$或$\frac{2}{3}$

答案与解析

解析

$P(X=2)=6[p(1-p)]^2=8/27>0$，所以端点0、1不满足。除6得 $[p(1-p)]^2=4/81$，内点乘积为正，故 $p(1-p)=2/9$。即

$$(p-1/3)(p-2/3)=0.$$

两根均合法并回代满足，所以选D。四次恰两次的事件在交换成功、失败后不变，不能凭称呼删去对称根。A、B的四分之一及四分之三不符，C漏另一根。

本题结论

D，p=1/3或2/3。

三等级产品的完整三问进一步展示均值方差反参、概率相等的端点，以及各问样本量变化时的参数解释。研学人数的完整题展示次数事件与最可能人数，不可把平均人数四舍五入代替众数。

坑点

只见次数，不等于二项模型

固定总体不放回的各位置边际概率虽相同，条件比例仍随此前结果改变。可在两种抽题的完整比较中练习按抽样机制比较数字特征。放回也须每次重新均匀独立抽样，若策略受前次影响仍不能自动称独立。

题目只说随机抽取产品，不足以证明各件独立同概率，应在解析中说明采用的模型。首次成功的停止次数、不同加分值的总分也不是固定 $n$ 的成功数。四种变量的辨析题将这些机制逐项区分。

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