全概率把各来源的贡献合起来，贝叶斯把观察到的结果重新按来源分配。两者的共同基础是：先求来源与结果同时发生的联合量。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

先有互斥完整划分，才有全概率

将样本空间分成有限个两两互斥且合起来为全空间的事件 $A_1,\ldots,A_n$。目标 $B$ 可写成各 $A_iB$ 的互斥并，故

$$P(B)=\sum_iP(A_iB).$$

若各 $P(A_i)>0$，应用条件乘法，得到

$$P(B)=\sum_iP(A_i)P(B\mid A_i).$$

漏类会漏掉 $B$ 的部分，重叠类会重复计数。若某类概率0，它不必是空事件，但该类与 $B$ 的交概率为0；在联合式中直接记0即可，不写0乘未定义的条件概率。若只划分某个已知条件 $C$，不是划分全空间，须在 $C$ 内使用相应条件权重 $P(A_i\mid C)$。

权重由选取机制确定

令 $w_i=P(A_i)$、$q_i=P(B\mid A_i)$，则总概率为 $\sum_iw_iq_i$，不是任意的算术平均。

选取机制	来源权重	可否忽略容量差别
先等可能选一个来源，再从中抽取	各来源等权	可在选来源这一步忽略容量，但类内概率仍不同
从混在一起的全部对象等可能抽一个	来源对象数占总数的比例	不可，容量决定权重
已知对象满足某条件再问来源	该条件下的后验比例	需用联合量重新归一

权重非负且和1，结果应在正权重类内概率的最小值和最大值之间：因 $w_iq_{\min}\le w_iq_i\le w_iq_{\max}$，相加即得上下界。此范围检查不能代替互斥完整与模型检查。“各来源各取一次”也不是“择一来源再取一次”。

观察结果以后，来源比例如何更新

若已知 $B$ 发生且 $P(B)>0$，由条件概率定义

$$P(A_i\mid B)=\frac{P(A_iB)}{P(B)} =\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_jP(A_j)P(B\mid A_j)}.$$

第二式对写出的各类条件概率要求来源正概率。零概率来源用第一式的零联合量处理；结果本身概率为0时，本章初等后验比值不适用。

$P(A_i)$ 是先验来源比例，$P(A_i\mid B)$ 是观察 $B$ 后的后验。分子既包含来源权重，也包含来源内出现结果的机会。所有后验非负且和1；比较后验大小时，共同正分母可约去，比较联合量即可。来源常见与结果在该来源内常见都会影响判断，仅比产量或仅比次品率都不够。信息更新不表示结果造成了来源。

考点

先统一目标，再按来源加权

列出互斥完整分类、实际权重及各类同一个目标的概率。题给失败而问成功，先在同一条件内取补，再乘权重。每类先乘后加，不把不同条件率直接相加。

例题 01 解答题的两小问

题目

已知一道解答题共有两小问，第一问5分，第二问8分，现每10个人有6个人能够解答出第一问，在第一问解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（    ）

A．0.04 B．0.18 C．0.22 D．0.46

答案与解析

解析

记解出第一问为 $A$、解出第二问为 $B$。$P(A)=0.6$，$P(\overline A)=0.4$。题给的是 $P(\overline B\mid A)=0.7$，所以 $P(B\mid A)=0.3$；另有 $P(B\mid\overline A)=0.1$。

$$P(B)=0.6\times0.3+0.4\times0.1=0.18+0.04=0.22.$$

A、B选项分别只取一个来源贡献，D也不是该加权和；应选C。得分5分、8分不改变所求第二问解出的事件概率。

本题结论

C，0.22。

例题 02 三叠卡片的抽取

题目

某人参加抽奖游戏，现有三叠外形、大小、图案均相同的卡片，分别有10张、15张、20张，若每叠中有2张中奖卡片，则随机选择一叠卡片抽取，中奖的概率是（    ）

A．$\frac{1}{9}$ B．$\frac{7}{90}$ C．$\frac{13}{90}$ D．$\frac{1}{6}$

答案与解析

解析

按通常题解的机制，三叠各以 $1/3$ 选中，选中后在该叠均匀抽一张。每叠中奖率分别 $2/10,2/15,2/20$，故

$$P(\text{中奖})=\frac13\left(\frac2{10}+\frac2{15}+\frac2{20}\right)=\frac{13}{90}.$$

因此C成立，其他选项均非此值。第一叠某张卡的总概率为 $1/(3\times10)$，第三叠某张卡为 $1/(3\times20)$，全部45张并不等可能，不能直接用 $6/45$。若题目另指定非等权选堆机制，应改用实际权重，不能把“随机”无条件解释为所有底层对象均匀。

本题结论

按等概率选堆模型，C，13/90。

观察结果后，按联合量重新归一

先写“已知什么、问来自哪里”。计算各来源且出现所观察结果的联合量，分母用全部这些联合量之和。若观察次品而题给合格率，逐类先取补；某来源不可能产生该结果，其后验为0，但总分母仍须正。

例题 03 混合零件的来源

题目

有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 $5\%$，第2，3台加工的次品率均为 $3\%$，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的$20\%\text{，}30\%\text{，}50\%$. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（    ）

A．$\frac{17}{50}$ B．$\frac{15}{34}$ C．$\frac{9}{34}$ D．$\frac{5}{17}$

答案与解析

解析

所求为 $P(A_3\mid B)$，其中 $B$ 表示次品，不是 $P(B\mid A_3)=0.03$。

来源	先验	类内次品率	来源且次品的联合概率	次品内后验
第1台	0.2	0.05	0.010	$10/34$
第2台	0.3	0.03	0.009	$9/34$
第3台	0.5	0.03	0.015	$15/34$

总次品概率为 $0.010+0.009+0.015=0.034=17/500>0$。第三台的后验 $0.015/0.034=15/34$，选B。C是第二台份额，D是第一台份额 $10/34=5/17$，A也不等于第三台份额。三后验和为1。

本题结论

B，15/34。

例题 04 两个车间的质量记录

题目

某工厂有$A,B$两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是$98\%$和$99\%$，已知某批产品的$60\%$和$40\%$分别是$A,B$两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（    ）

A．$\frac{3}{4}$ B．$\frac{4}{7}$ C．$\frac{3}{7}$ D．$\frac{1}{2}$

答案与解析

解析

观察到的是不合格，因此两个车间的类内概率分别 $1-0.98=0.02$ 与 $1-0.99=0.01$。对应联合概率为 $0.6\times0.02=0.012$、$0.4\times0.01=0.004$。总不合格概率0.016，来自A的条件概率为 $0.012/0.016=3/4$，选A。其余选项不是这一比值。0.6是全体中的A比例，次品中A占比因其较高次品率升至0.75。

本题结论

A，3/4。

已知总体概率，反求类内参数

明确参数代表哪个方向，将目标统一后列全概率方程。解出候选还须检查 $0\le p\le1$、权重和1及条件分母正；多个未知量需要足够独立条件，不能只凭名称多就声称可唯一求解。第二问若改成逆向条件，须重新选择分母。

例题 05 两批产品的未知次品率

题目

两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为$p$.将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%.

(1)求$p$；

(2)已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率.

答案与解析

解析

（1）总次品率为 $1-0.976=0.024$，故

$$0.4\times0.03+0.6p=0.024, \qquad 0.6p=0.012,\qquad p=0.02.$$

结果位于 $[0,1]$，两来源权重之和1。

（2）第二批且次品的联合量为 $0.6\times0.02=0.012$，已知次品后的分母为0.024，所以所求 $0.012/0.024=1/2$。第一问在全体中混合，第二问在次品中重新归一，不共用同一分母。

本题结论

（1）p=0.02；（2）1/2。

坑点

交集可交换，条件方向不能照抄

$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 共享联合量，但分母分别为 $P(B)$ 与 $P(A)$。先乘回已知条件分母，再除所问条件分母；两个写出的分母都需正。

辨析 01 换一个已知范围

题目

已知事件$A$发生的概率为0.4，事件$B$发生的概率为0.5，若在事件$B$发生的条件下，事件$A$发生的概率为0.6，则在事件$A$发生的条件下，事件$B$发生的概率为（   ）

A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7

答案与解析

解析

先求共同交概率 $P(AB)=0.6\times0.5=0.3$，再换为条件 $A$：$P(B\mid A)=0.3/0.4=0.75$，选C。交事件仍相同，比例由0.6变为0.75，是因为比较范围由概率0.5的B变成概率0.4的A。A、B、D选项均非该比值。

本题结论

C，0.75。

权重和1并不能证明分类正确

仍须验证类别互斥且完整。“解出第一问/未解出第一问”是划分，“解出第一问/解出第二问”通常重叠。按各类成功率直接相加甚至可能超过1；简单平均也只适用于实际来源等权的情形。

次品率、先验与后验是三个数

车床例题中第三台的3%是类内次品率，50%是全体来源比例，15/34才是次品中的来源比例。结果来自哪一类，要看权重与类内概率的乘积，不能只选次品率最大或产量最大者。

上一页条件概率与条件乘法

下一页随机变量：结果、数值与记录规则