符号给方向，绝对值给样本线性贴近程度。零相关与完全共线都须带上其真正条件。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

范围与等号条件

设两列非恒定，中心化为 $X_i=x_i-\bar x,Y_i=y_i-\bar y$，$S_{xx}=\sum X_i^2>0,S_{yy}=\sum Y_i^2>0,S_{xy}=\sum X_iY_i$。对任意实数 $t$，

$$0\le\sum(Y_i-tX_i)^2=S_{yy}-2tS_{xy}+t^2S_{xx}.$$

取 $t=S_{xy}/S_{xx}$，得 $S_{yy}-S_{xy}^2/S_{xx}\ge0$，即

$$S_{xy}^2\le S_{xx}S_{yy},\qquad -1\le r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}\le1.$$

等号须每一平方项0，即全部 $Y_i=tX_i$。$t=0$ 会使 $S_{yy}=0$ 矛盾，所以 $t\ne0$；换回原数据是同一直线 $y_i=tx_i+(\bar y-t\bar x)$。

反向，若所有 $y_i=kx_i+b$，其中 $x$ 非恒定、$k\ne0$，则 $\bar y=k\bar x+b$、$Y_i=kX_i$，$S_{xy}=kS_{xx},S_{yy}=k^2S_{xx}$，从而 $r=k/|k|$。故正分母下，$|r|=1$ 当且仅当全部点在非水平非竖直的直线上；$r$ 不等于斜率大小。水平或竖直线有恒定列，$r$ 无定义。两对观测且两列分别取不同值就已 $|r|=1$，不因此保证总体精确共线。

方向、强弱、误差与因果

问题	核什么	不可替代
正负方向	$r$ 的符号	不代表每点单调
样本线性强弱	$\lvert r\rvert$ 越近1越强	不比较带符号数值代替
带符号大小	放回数轴，负数绝对值大者反而小	不直接叫“更强”
原单位预测误差	对应数据、单位、拟合定义下另算	不能仅按 $\lvert r\rvert$ 排序
因果作用	额外研究设计与条件	不是相关强弱的同义词

负相关增强可能表现为 $r$ 向-1减小，正相关增强则向1增大。0.8等“强”的阈值按题目或经验使用，不是跨学科普适定理。图形比较核坐标尺度与直线贴近程度，不以曲线很明显或屏幕带窄编出精确数值。

零线性相关与概率独立

两列非恒定时，$r=0$ 仅等价于中心化偏差乘积和0，正负贡献可以抵消。U形可左右分别下降和上升，有曲线结构；没有精确坐标的图，不能宣称它恰为零相关。弱线性关系也不等于无任何关联。

概率独立要求关于两变量任意取值事件都满足联合概率等于两边缘概率之积，是整个分布的条件；有限样本的一项积和不能核完它。拓展地，在有限方差等相应条件下，独立可推出总体偏差乘积期望（协方差）0，反向不成立，也不能把样本 $r=0$ 当总体协方差已确定为0。

考点

先合法，再分方向和强弱

1. 核两列非恒定与 $r$ 的合法范围。
2. 正负分组；零只描述样本线性积和。
3. 取绝对值比较线性贴近程度；若问数值排序，重新按符号放回数轴。
4. 散点无精确坐标就限于明显定性结构；如果要独立或一般无关联，另找分布与证据。

例题 01 两组相关系数的比较

题目

对两个变量$x,y$进行线性相关性检验，得线性相关系数${r}_{1}=0.958$，对两个变量$u,v$进行线性相关性检验，得线性相关系数${r}_{2}=-0.974$，则下列判断正确的是（    ）

A．变量$x$与变量$y$正相关，变量$u$与变量$v$负相关，变量$x$与变量$y$的线性相关性更强

B．变量$x$与变量$y$负相关，变量$u$与变量$v$正相关，变量$x$与变量$y$的线性相关性更强

C．变量$x$与变量$y$负相关，变量$u$与变量$v$正相关，变量$u$与变量$v$的线性相关性更强

D．变量$x$与变量$y$正相关，变量$u$与变量$v$负相关，变量$u$与变量$v$的线性相关性更强

答案与解析

解析

$r_1=0.958>0$，所以第一组正相关；$r_2=-0.974<0$，第二组负相关。强弱取绝对值，$0.974>0.958$，因此第二组更强，选D。

A强弱颠倒；B、C正负颠倒。-0.974在数轴上较小不意味更弱。此处“更强”只指样本线性贴近程度，不是因果更强，也不保证原单位的预测误差更小。

本题结论

D

例题 02 四组散点的相关系数排序

题目

对四组数据进行统计，获得如图散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（    ）

原题图image17

A．${r}_{2}<{r}_{4}<0<{r}_{3}<{r}_{1}$ B．${r}_{4}<{r}_{2}<0<{r}_{1}<{r}_{3}$

C．${r}_{4}<{r}_{2}<0<{r}_{3}<{r}_{1}$ D．${r}_{2}<{r}_{4}<0<{r}_{1}<{r}_{3}$

答案与解析

解析

图1、3整体上升，$r_1,r_3>0$；图2、4整体下降，$r_2,r_4<0$。按图示明显的直线贴近程度，1比3更集中，2比4更集中，所以 $|r_1|>|r_3|$、$|r_2|>|r_4|$。

正数较强者较大，负数较强者更负，合起来

$$r_2<r_4<0<r_3<r_1,$$

选A。这里是按原图尺度下的明显结构定性排序，不从图片伪造四个精确相关系数；一般不同尺度的屏幕带宽还需标准化后比较。

本题结论

A

三类完整题的边界练习

• 一条直线上的样本：完整题干给了非恒定 $x$，闭解核验 $r$ 与斜率的区别。
• 五幅散点图、四幅关系图：完整图题区分定性教材分类、曲线结构与独立证据。
• 去掉指定观测点：两均值及三中心化和都更新，分别核 $r$、$|r|$ 和原单位残差平方和。

坑点

强弱不替代数值排序

先核非恒定，再判正负、比较绝对值，最后才回答带符号大小。删除数据会改变均值和三项和，动作本身不保证 $r$ 或 $|r|$ 增加。

未显线性趋势不证明独立

精确曲线仍可有结构。先看形状和题目语境，再用合法 $r$ 描述线性关联；若要“无任何关系”或“独立”，核是否真有整个分布的证据，不能用样本零或弱线性相关冒充。

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