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空间数量积：运算、求模与垂直参数

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数量积是带符号的实数；先看向量方向，再展开，最后检查几何条件。

一、知识点 理解概念

1. 向量夹角与数量积的对象不同

两个非零空间向量平移到同一起点，两射线夹角为 θ\theta，范围 0≤θ≤π0\le\theta\le\pi。平移不改变方向；反向其中一个向量，会使夹角变为 π−θ\pi-\theta。图中任意两边夹角未必就是目标有向线段的夹角。

数量积为实数，定义为

a⃗⋅b⃗=∣a⃗∣ ∣b⃗∣cos⁡θ.\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\,|\vec b|\cos\theta.

另规定零向量与任何向量的数量积为 00；这不赋予零向量方向或夹角。a⃗2\vec a^2 只是 a⃗⋅a⃗=∣a⃗∣2\vec a\cdot\vec a=|\vec a|^2 的简写，不是一种向量平方运算。

固定非零 b⃗\vec b 的正方向，当 a⃗\vec a 也非零时，∣a⃗∣cos⁡θ|\vec a|\cos\theta 是其有向投影分量；a⃗=0⃗\vec a=\vec0 时分量直接为 00，不定义夹角。非零情形下，乘 ∣b⃗∣|\vec b| 得数量积。锐角为正、直角为零、钝角为负，负号记录反向分量，不能随意取绝对值。

2. 分配律来自有向投影相加

把 u⃗,v⃗\vec u,\vec v 首尾接成折线 O→P→QO\to P\to Q，再将三点正交投影到方向为 b⃗\vec b 的同一直线上。投影后的有向位移仍满足从 OO 到 QQ 等于两段相加；因此 u⃗+v⃗\vec u+\vec v 的有向分量是两分量之和。乘 ∣b⃗∣|\vec b| 得

b⃗⋅(u⃗+v⃗)=b⃗⋅u⃗+b⃗⋅v⃗.\vec b\cdot(\vec u+\vec v)=\vec b\cdot\vec u+\vec b\cdot\vec v.

b⃗=0⃗\vec b=\vec0 时两边同为零。这个理由不需要先用坐标数量积公式，也不要求原向量都在同一平面内。

交换律来自长度乘积与夹角的对称；实数数乘使有向投影按相同倍率伸缩，包括负倍率反向，所以

a⃗⋅b⃗=b⃗⋅a⃗,(λa⃗)⋅b⃗=λ(a⃗⋅b⃗)=a⃗⋅(λb⃗).\vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec a,\qquad (\lambda\vec a)\cdot\vec b=\lambda(\vec a\cdot\vec b)=\vec a\cdot(\lambda\vec b).

将 (a⃗±b⃗)⋅(a⃗±b⃗)(\vec a\pm\vec b)\cdot(\vec a\pm\vec b) 分配成四项、合并交叉项，得

∣a⃗±b⃗∣2=∣a⃗∣2+∣b⃗∣2±2a⃗⋅b⃗.|\vec a\pm\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2\pm2\vec a\cdot\vec b.

3. 非零条件决定能否从代数回到几何

两个非零向量的数量积为零，当且仅当两方向垂直。若含零向量，等式仍成立，但不能说夹角为 90∘90^\circ。求模总可用 ∣a⃗∣=a⃗⋅a⃗|\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot\vec a}，取非负平方根。

求夹角须两模非零，此时 cos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣ ∣b⃗∣\cos\theta=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\,|\vec b|}；若用 a⃗⋅b⃗/(∣b⃗∣cos⁡θ)\vec a\cdot\vec b/(|\vec b|\cos\theta) 反求模，还须 cos⁡θ≠0\cos\theta\ne0，垂直时不能这样除。数量积为零也不意味着某个因子为零，两个非零垂直向量就是反例。

二、考点 方法与例题

1. 运算辨析先检查结果类型

数量积产生实数，随后乘向量是实数数乘；不要把三向量表达式当普通数乘去括号。对任意向量的命题，零向量也必须纳入检查。

例题 01 数量积的运算关系

对于任意空间向量a⃗\vec{a}，b⃗\vec{b}，c⃗\vec{c}，下列说法正确的是（    ）

A．若a⃗//b⃗\vec{a}//\vec{b}且b⃗//c⃗\vec{b}//\vec{c}，则a⃗//c⃗\vec{a}//\vec{c} B．a⃗⋅(b⃗+c⃗)=a⃗⋅b⃗+a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot \left( \vec{b}+\vec{c}\right)=\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{c}

C．若a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗\vec{a}\cdot \vec{b}=\vec{a}\cdot \vec{c}，且a⃗≠0⃗\vec{a}\ne \vec{0}，则b⃗=c⃗\vec{b}=\vec{c} D．(a⃗⋅b⃗)c⃗=a⃗(b⃗⋅c⃗)\left( \vec{a}\cdot \vec{b}\right)\vec{c}=\vec{a}\left( \vec{b}\cdot \vec{c}\right)

答案与解析

A 错：约定零向量与任意向量共线，若中间 b⃗=0⃗\vec b=\vec0，两次共线并未给共同的非零方向。例如 a⃗=(1,0,0),c⃗=(0,1,0)\vec a=(1,0,0),\vec c=(0,1,0) 不共线。

B 是分配律，对任意向量都成立，故选 B。

C 错：相减只能得到 a⃗⋅(b⃗−c⃗)=0\vec a\cdot(\vec b-\vec c)=0，差向量可以有非零的垂直分量。例如 a⃗=(1,0,0),b⃗=(0,1,0),c⃗=0⃗\vec a=(1,0,0),\vec b=(0,1,0),\vec c=\vec0，两数量积均为零，但 b⃗≠c⃗\vec b\ne\vec c。上传知识资料指出，原夹角论证隐含 b⃗,c⃗\vec b,\vec c 非零，不能直接涵盖一般选项的全部情形。这里的差向量论证及反例包含零向量，不需要为 c⃗\vec c 定义夹角。

D 错：左边先得实数 a⃗⋅b⃗\vec a\cdot\vec b 再数乘 c⃗\vec c；右边先得实数 b⃗⋅c⃗\vec b\cdot\vec c 再数乘 a⃗\vec a。取 a⃗=b⃗=(1,0,0),c⃗=(0,1,0)\vec a=\vec b=(1,0,0),\vec c=(0,1,0)，左边为 (0,1,0)(0,1,0)，右边为零，故不存在所写的普遍结合律。

2. 先核有向边，再用几何角或平方展开

目标模和夹角易读时用定义；不易读时，沿实际路径拆成已知边向量，用中点或同向平移关系确定系数。正四面体的面等边，不代表任意有向边夹角都是 60∘60^\circ；一般平行六面体也不能按正方体处理。

例题 02 正四面体中的三组数量积

已知正四面体OABCOABC的棱长为1，如图所示.若E，F分别是OAOA，OCOC的中点，求：

原件配图
原件配图

(1)EF⃗⋅AO⃗\vec{EF}\cdot \vec{AO}；

(2)EF⃗⋅AC⃗\vec{EF}\cdot \vec{AC}；

(3)EF⃗⋅CB⃗\vec{EF}\cdot \vec{CB}.

答案与解析

E,FE,F 分别为 OA,OCOA,OC 中点，中位线方向从 EE 到 FF 对应从 AA 到 CC，所以 EF⃗=AC⃗/2\vec{EF}=\vec{AC}/2。

补出中点E、F及对应中位线
补出中点E、F及对应中位线

(1) AC⃗,AO⃗\vec{AC},\vec{AO} 同以 AA 为起点，等边三角形 AOCAOC 给夹角 60∘60^\circ。因此

EF⃗⋅AO⃗=12⋅1⋅1cos⁡60∘=14.\vec{EF}\cdot\vec{AO}=\frac12\cdot1\cdot1\cos60^\circ=\frac14.

(2) 同一向量与自身数量积为模平方：EF⃗⋅AC⃗=12∣AC⃗∣2=12\vec{EF}\cdot\vec{AC}=\frac12|\vec{AC}|^2=\frac12。

(3) CA⃗,CB⃗\vec{CA},\vec{CB} 同以 CC 为起点，夹角 60∘60^\circ；题给的是反向的 AC⃗\vec{AC}，所以 ⟨AC⃗,CB⃗⟩=120∘\langle\vec{AC},\vec{CB}\rangle=120^\circ。于是

EF⃗⋅CB⃗=12⋅1⋅1cos⁡120∘=−14.\vec{EF}\cdot\vec{CB}=\frac12\cdot1\cdot1\cos120^\circ=-\frac14.

三问分别使用同起点几何角、向量自身平方和反向补角。最后的负号来自方向，不是棱长为负。

例题 03 等棱平行六面体的对角线

已知平行六面体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}的所有棱长均为11，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60∘\angle {A}_{1}AB=\angle {A}_{1}AD=\angle BAD={60}^{\circ}，则对角线A1C{A}_{1}C的长为（    ）

A．6\sqrt{6} B．22 C．3\sqrt{3} D．2\sqrt{2}

答案与解析

令 u⃗=AA1⃗,v⃗=AB⃗,w⃗=AD⃗\vec u=\vec{AA_1},\vec v=\vec{AB},\vec w=\vec{AD}。三模均为 11，三对夹角均为 60∘60^\circ，故 u⃗⋅v⃗=u⃗⋅w⃗=v⃗⋅w⃗=1/2\vec u\cdot\vec v=\vec u\cdot\vec w=\vec v\cdot\vec w=1/2。

一般平行六面体中的对角线A1C
一般平行六面体中的对角线A1C

沿 A1→A→B→CA_1\to A\to B\to C，且 BC⃗=AD⃗\vec{BC}=\vec{AD}，得 A1C⃗=−u⃗+v⃗+w⃗\vec{A_1C}=-\vec u+\vec v+\vec w。数量积自身展开为三个平方项及三个双交叉项：

∣A1C⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2+∣w⃗∣2−2u⃗⋅v⃗−2u⃗⋅w⃗+2v⃗⋅w⃗=1+1+1−1−1+1=2.\begin{aligned} |\vec{A_1C}|^2&=|\vec u|^2+|\vec v|^2+|\vec w|^2 -2\vec u\cdot\vec v-2\vec u\cdot\vec w+2\vec v\cdot\vec w\\ &=1+1+1-1-1+1=2. \end{aligned}

所以对角线长 2\sqrt2，选 D。C 的 3\sqrt3 漏了非零交叉项；A 的 6\sqrt6 把所有交叉项都取正，对应的是 u⃗+v⃗+w⃗\vec u+\vec v+\vec w 而非目标；B 的 22 也不满足所得模平方。

这三基向量虽均为单位向量，却不正交，不能把三个系数的平方和直接当模平方。

3. 垂直参数：解方程后回到范围与非零条件

角在 PP 处就用从 PP 发出的两向量。先记动点范围与非零条件，完整展开数量积为零的方程，所得只是候选；逐个回代原向量、范围及禁用端点。

例题 04 正方体对角线上的动点

如图，设动点PP在棱长为11的正方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}的对角线BD1B{D}_{1}上（不含端点），D1PD1B=λ\frac{{D}_{1}P}{{D}_{1}B}=\lambda，当∠APC\angle APC为直角时，λ\lambda的值是（    ）

原件配图
原件配图

  

A．2 B．1 C．12\frac{1}{2} D．13\frac{1}{3}

答案与解析

PP 在对角线内部，先记 0<λ<10<\lambda<1。取 u⃗=DA⃗,v⃗=DC⃗,w⃗=DD1⃗\vec u=\vec{DA},\vec v=\vec{DC},\vec w=\vec{DD_1}，它们两两垂直且模为 11。

D1B⃗=u⃗+v⃗−w⃗\vec{D_1B}=\vec u+\vec v-\vec w，D1P⃗=λ(u⃗+v⃗−w⃗)\vec{D_1P}=\lambda(\vec u+\vec v-\vec w)，因此

DP⃗=λu⃗+λv⃗+(1−λ)w⃗.\vec{DP}=\lambda\vec u+\lambda\vec v+(1-\lambda)\vec w.

从终点位置减去 PP 的位置：

PA⃗=(1−λ)u⃗−λv⃗+(λ−1)w⃗,\vec{PA}=(1-\lambda)\vec u-\lambda\vec v+(\lambda-1)\vec w,

PC⃗=−λu⃗+(1−λ)v⃗+(λ−1)w⃗.\vec{PC}=-\lambda\vec u+(1-\lambda)\vec v+(\lambda-1)\vec w.

PP 高度 1−λ>01-\lambda>0，而 A,CA,C 在底面，故两向量都非零，直角条件等价于 PA⃗⋅PC⃗=0\vec{PA}\cdot\vec{PC}=0。正交基底使交叉项为零，得

−2λ(1−λ)+(λ−1)2=3λ2−4λ+1=(λ−1)(3λ−1)=0.-2\lambda(1-\lambda)+(\lambda-1)^2 =3\lambda^2-4\lambda+1=(\lambda-1)(3\lambda-1)=0.

候选 λ=1\lambda=1 或 1/31/3。前者给 P=BP=B，违反不含端点；后者在 (0,1)(0,1) 内、方向非零且数量积为零，所以选 D。

B 是未筛范围的端点根；A 超出线段；C 的 1/21/2 代入方程得 −1/4≠0-1/4\ne0。不能只因方程有两个根就全收。

三、坑点 辨析与纠错

1. 数量积没有消去律与普通结合律

a⃗⋅b⃗=a⃗⋅c⃗\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c 只控制差向量在 a⃗\vec a 方向的分量，不能“约掉向量”。若另已知 b⃗−c⃗=ta⃗\vec b-\vec c=t\vec a 且 a⃗≠0⃗\vec a\ne\vec0，才可由 t∣a⃗∣2=0t|\vec a|^2=0 得 t=0t=0；这里消去的是非零实数 ∣a⃗∣2|\vec a|^2，不是向量。没有这一额外方向条件时不可自行添加。

(a⃗⋅b⃗)c⃗(\vec a\cdot\vec b)\vec c 与 a⃗(b⃗⋅c⃗)\vec a(\vec b\cdot\vec c) 都能算，但并非普遍相等，括号不能随意去掉。数量积为零也不能套实数的零乘积法则，断言某向量为零。

2. 正负、交叉项与分母都要有条件

边长相乘还须乘夹角余弦，反向会变号；模平方最后取非负根，但数量积本身可为负。∣u⃗+v⃗∣|\vec u+\vec v| 一般不等于两模之和，两者都非零时，等号仅在同向时成立；含零向量时等号也成立。平方展开的交叉项在数量积为零时消去：两个非零方向垂直或含零向量都可以。反向不会改变数量积是否为零，但表达向量关系、展开参数方程时，反向带来的负号仍必须正确保留。

固定非零 a⃗\vec a，条件 a⃗⋅(a⃗−λb⃗)=0\vec a\cdot(\vec a-\lambda\vec b)=0 化为 ∣a⃗∣2−λa⃗⋅b⃗=0|\vec a|^2-\lambda\vec a\cdot\vec b=0。若 a⃗⋅b⃗≠0\vec a\cdot\vec b\ne0 才可除它求参数；若为零，原式为 ∣a⃗∣2=0|\vec a|^2=0，与非零矛盾，无解，不能用除零公式。