变化的量词、端点与函数比较

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先说清谁固定、谁遍历、谁只需找到一个。相同的二次式，量词落在不同变量上，可能变成一次式端点检验、失败区域上的补救，或两个独立取值范围的比较。

一、知识点概念与依据

1. 按正在遍历的变量重新整理

式子关于 $x$ 为二次，不代表关于参数 $a$ 也为二次。例如

ax^2+(a+1)x+1-\frac32a=(x^2+x-\tfrac32)a+x+1.

当题目让 $a$ 遍历而求 $x$ ，一次检查中 $x$ 固定，右边关于 $a$ 为一次或常数。应按真正被量化的变量确定次数、系数和范围，而不是见到 $x^2$ 就只套判别式。

2. 有限闭区间上的一次式为什么只查两端

设 $H(a)=ua+v$ ， $L<U$ 。任意 $a\in[L,U]$ 都满足

H(a)=\frac{U-a}{U-L}H(L)+\frac{a-L}{U-L}H(U).

两系数非负、和为 $1$ ，所以两端同为正，内部也正；两端同为非负，内部也非负。反向因为端点本就属于范围，所以同样必要。负、非正目标同理。 $u=0$ 时仍成立； $L=U$ 时只查唯一点，不能用分母为零的公式。

若已知 $u>0$ ，全称小于零只查右端，全称大于零只查左端； $u<0$ 则反过来。含 $a^2$ 或 $1/a$ 的式子并非一次式，不能照搬。开区间也需重新判断严格性：例如一次式在 $(L,U)$ 严格负，允许一个未收入的端点等于零，只要另一端严格负；若两端都是零，整段为零，严格目标失败。

3. “或”恒成立，转到另一条件失败的区域

对同一允许范围 $I$ 中的每个 $x$ ，要求 $P(x)$ 或 $Q(x)$ 至少一个为真，等价于在

E=\{x\in I\mid P(x)\text{ 为假}\}

上要求 $Q(x)$ 恒真。 $E$ 外 $P$ 已经保证原句； $E$ 内只能靠 $Q$ 。若 $P$ 为 $F>0$ ，失败区是 $F\le0$ ，必须含零点；若为 $F\ge0$ ，失败区才是 $F<0$ 。

$E$ 为空时原句自动成立；仅一个点时检查该点；若为多个区间，各段条件要取交。不能直接要求 $P,Q$ 同时成立，也不能把“ $F>0$ 或 $G>0$ ”换成“ $F+G>0$ ”：后者保证至少一个正，却只是充分条件。例如 $F=2,G=-3$ 时前者真而和为负。

4. 两个独立自变量，比较的是两边各自可取得的值

考虑

\forall x_1\in I,\ \exists x_2\in J,\quad f(x_1)>g(x_2).

这里 $x_2$ 不必等于 $x_1$ ，也不预先指定为某个点。先固定任意 $x_1$ ，把 $f(x_1)$ 当作常数，再问 $g$ 能否低于它。

若非空固定范围 $J$ 中 $g$ 实际取得最小值 $m=g(t)$ ，则存在 $g(x_2)<f(x_1)$ 等价于 $f(x_1)>m$ 。必要性来自 $g(x_2)\ge m$ ；充分性取 $x_2=t$ 。若 $f$ 也在非空 $I$ 中实际取得最小值 $n$ ，整句进一步等价于 $n>m$ 。这样推导后，才知道可以对所有 $x_1$ 统一选同一个见证 $t$ 。

同样，已取得极值时：全称 $x_1$ 、存在 $x_2$ 的 $f(x_1)\ge g(x_2)$ 比较两边最小值 $n\ge m$ ；目标改为 $f(x_1)<g(x_2)$ 或 $\le$ 时，则比较两边最大值，分别要求 $\max_I f<\max_J g$ 或 $\le$ 。

若把 $x_1,x_2$ 强行设成同一个 $x$ ，就额外限制了见证，通常变成更强但非等价的条件；若两边范围不同，同点比较甚至可能无定义。若 $J$ 随 $x_1$ 改变，必须对每个 $x_1$ 重新求其允许范围中的有利值，不能擅自共用一个全局最值。

5. 未取得的界、空范围与等值比较

若 $f$ 只有下确界 $\alpha$ ，未必取得最小值，则全称 $f>m$ 允许两种情况： $\alpha>m$ ，或 $\alpha=m$ 但没有点取到它。若 $\alpha<m$ ，按下确界含义必有函数值小于 $m$ ，全称失败。

若 $g$ 的有限下确界 $\beta$ 没有取得，对一个固定实数 $c$ ，存在 $g<c$ 与存在 $g\le c$ 都等价于 $c>\beta$ ： $c=\beta$ 没有可取的等值点； $c>\beta$ 时总能找一个比 $c$ 更低的实际值。若 $g$ 向下无界，则任何有限 $c$ 都能找到更低见证。

$I=\varnothing$ 时外层全称为真； $I$ 非空而 $J=\varnothing$ 时内层存在为假。对于 $\forall x_1\exists x_2:f(x_1)=g(x_2)$ ，真正条件是值域包含 $f(I)\subseteq g(J)$ ；不能只看上下端点，因为值域可能有缺口。

6. 分问与嵌套量词都要重记有效条件

题干共同条件一直有效，某一小问另加的参数范围不自动传给下一问；“在第（1）问条件下”等明确文字才给继承依据。同一问内部的全称与存在则必须按原先次序处理。换顺序、把“有一个”改成“每一个”，或把独立变量合并，都可能改变答案。

二、考点方法与例题

方法一：先整理被量化变量，再做端点交集

把每次判断中固定的量标出来；若遍历变量只一次出现，用两端条件取交，并在原式检验边界。若遍历变量为二次，按真实区间中的顶点位置取最值，不以端点法替代。

方法二：把逻辑句化成允许区域与有利值

“或”先求一个命题的失败区域，在其中要求另一个全称成立；“全称—存在”先固定外变量，用内变量的有利值消去存在，再检验外变量的最不利值。每个最值写出实际取到的位置，最后用见证或反例验参数端点。

例题 01 遍历参数与寻找自变量的两问

题目

（1）已知 $\forall a\in \left[ 0,2\right]$ 时，不等式 $a{x}^{2}+\left( a+1\right)x+1-\frac{3}{2}a<0$ 恒成立，求 $x$ 的取值范围.

（2）已知存在 $x\in \left[ -2,2\right]$ ，使不等式 ${x}^{2}+mx+3-2m\le 0$ 成立，求 $m$ 的取值范围.

答案与解析

解析

第（1）问：遍历的是 $a$ 。固定 $x$ ，记

H(a)=(x^2+x-\tfrac32)a+x+1.

$H$ 关于 $a$ 为一次或常数。在 $[0,2]$ 上严格小于零，等价于

H(0)=x+1<0,\qquad H(2)=2x^2+3x-2=(2x-1)(x+2)<0.

两者分别给 $x<-1$ 与 $-2<x<1/2$ ，交集为 $(-2,-1)$ 。充分性也可直接写 $H(a)=(1-a/2)H(0)+(a/2)H(2)<0$ 。 $x=-2$ 在 $a=2$ 取零； $x=-1$ 在 $a=0$ 取零，都不能收入。

第（2）问：遍历范围为 $x\in[-2,2]$ ，只需一个非正值。配方

g(x)=x^2+mx+3-2m=(x+m/2)^2+3-2m-m^2/4.

$m\le-4$ 时轴在右侧或右端，最小值 $g(2)=7>0$ ，不可能。
$-4<m<4$ 时轴在内部，要求 $3-2m-m^2/4\le0$ ，即 $(m+4)^2\ge28$ 。和本分支相交得到 $2\sqrt7-4\le m<4$ 。
$m\ge4$ 时轴在左侧或左端，最小值 $g(-2)=7-4m<0$ ，整个分支通过。

合并为 $m\ge2\sqrt7-4$ 。下边界在 $x=2-\sqrt7\in[-2,2]$ 取零，非严格目标允许； $2\sqrt7-4\le m<4$ 可取 $x=-m/2$ ， $m\ge4$ 可取 $x=-2$ ，均为实际见证。

本题结论

（1） $x\in(-2,-1)$ ；（2） $m\in[2\sqrt7-4,+\infty)$ 。

例题 02 和式与两个条件的逻辑组合

题目

已知函数 ${y}_{1}={x}^{2}-2ax$ ， ${y}_{2}=ax+3-a$ ， $a\in R$ .

(1)若 $\forall x\in R$ ， ${y}_{1}+{y}_{2}>0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)若 $\exists x\in R$ ， ${y}_{1}+{y}_{2}<0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)若 $\forall x\in R$ ， ${y}_{1}>0$ 或 ${y}_{2}>0$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

答案与解析

解析

记 $y_1=x^2-2ax$ ， $y_2=ax+3-a$ ，则

y_1+y_2=x^2-ax+3-a=(x-a/2)^2+3-a-a^2/4.

第（1）问：和恒正。开口向上，实际顶点值严格正，等价于判别式

\Delta=a^2+4a-12=(a+6)(a-2)<0.

故 $-6<a<2$ 。

第（2）问：和存在负值。顶点值严格负，等价于 $\Delta>0$ ，得到 $a<-6$ 或 $a>2$ ，见证可取 $x=a/2$ 。这不是第（1）问参数范围的全部补集： $a=-6,2$ 时和是平方，既不恒正，也没有负值。

第（3）问：每个 $x$ 至少一个正。只须在 $y_1\le0$ 的区域要求 $y_2>0$ 。

$a<0$ 时，失败区 $E=[2a,0]$ 。 $y_2$ 随 $x$ 减少，最小值在右端 $0$ ，为 $3-a>0$ ，全部负参数通过。
$a=0$ 时， $E=\{0\}$ ，此处 $y_2=3>0$ ，通过。
$a>0$ 时， $E=[0,2a]$ 。 $y_2$ 随 $x$ 增大，最小值在左端 $0$ ，为 $3-a$ ，故 $0<a<3$ 。

合并得 $a<3$ 。对这些参数， $E$ 内第二式正、 $E$ 外第一式正，充分性完整；若 $a\ge3$ ，取 $x=0$ ，两式分别为 $0$ 与 $3-a\le0$ ，原句直接失败。要求和恒正只给较窄的 $(-6,2)$ ，不能替代本问。

本题结论

（1） $a\in(-6,2)$ ；（2） $a\in(-\infty,-6)\cup(2,+\infty)$ ；（3） $a\in(-\infty,3)$ 。

例题 03 同一比较式中的三种量词

题目

已知不等式 $2x-1>m\left( {x}^{2}+2\right)$ ．

(1)若 $\forall x\in R$ ，使不等式恒成立，求 $m$ 的取值范围；

(2)若 $\exists x>1$ ，使不等式能成立，求 $m$ 的取值范围；

(3)是否存在实数 $x$ ，使不等式对 $-1\le m\le 1$ 恒成立．若存在，求出 $x$ 取值范围；若不存在，请说明理由．

答案与解析

解析

原不等式等价于

h(x)=mx^2-2x+2m+1<0.

第（1）问：所有实数 $x$ 都通过。 $m=0$ 为 $-2x+1<0$ ，不能全实数成立； $m>0$ 在远处为正，也失败。 $m<0$ 时须 $\Delta<0$ ，即

4-4m(2m+1)=-4(2m-1)(m+1)<0.

解得 $m<-1$ 或 $m>1/2$ ，再与 $m<0$ 取交，得 $m<-1$ 。 $m=-1$ 时 $h=-(x+1)^2$ ，在 $x=-1$ 取零，严格号排除。

第（2）问：只需一个 $x>1$ 。因 $x^2+2>0$ ，原式等价于

m<R(x)=\frac{2x-1}{x^2+2}.

令 $t=2x-1>1$ ，则

R=\frac4{t+2+9/t}\le\frac12,

因为 $t+9/t-6=(t-3)^2/t\ge0$ 。等号在 $t=3$ 、 $x=2$ 取得，且该点合法。所以存在成立的充要条件是 $m<1/2$ ：必要性由上界，充分性取 $x=2$ ，原式即 $3>6m$ 。

第（3）问：找一个 $x$ ，让所有 $m\in[-1,1]$ 通过。固定 $x$ 时 $h=m(x^2+2)-2x+1$ 关于 $m$ 严格增加，故最不利的端点为 $m=1$ 。但此时

h=x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0,

对任何实数 $x$ 都不满足严格小于零。仅这个被全称收入的端点就足以否定存在，故没有所求 $x$ 。本问不能继承前两问求出的 $m$ 范围。

本题结论

（1） $m<-1$ ；（2） $m<\frac12$ ；（3）不存在这样的实数 $x$ 。

例题 04 同点比较与独立取值的比较

题目

已知函数 $f\left( x\right)=2{x}^{2}-2ax+2-{a}^{2}$ ， $g\left( x\right)={x}^{2}+3x-{a}^{2}-4\left( a\in R\right)$ ．

(1)当 $a=1$ 时，解不等式 $f\left( x\right)>g\left( x\right)$ ；

(2)若对任意 $x>0$ ，都有 $f\left( x\right)>g\left( x\right)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)若对 $\forall {x}_{1}\in \left[ 0,1\right]$ ， $\exists {x}_{2}\in \left[ 0,1\right]$ ，使得不等式 $f\left( {x}_{1}\right)>g\left( {x}_{2}\right)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围．

答案与解析

解析

两函数同点作差为

f(x)-g(x)=x^2-(2a+3)x+6.

第（1）问： $a=1$ 。作差得 $x^2-5x+6=(x-2)(x-3)>0$ ，所以 $x<2$ 或 $x>3$ 。

第（2）问：同点比较对每个 $x>0$ 成立。正数 $x$ 可除，得到

2a<x+\frac6x-3.

由于 $x+6/x-2\sqrt6=(\sqrt x-\sqrt6/\sqrt x)^2\ge0$ ，右边实际最小为 $2\sqrt6-3$ ，在 $x=\sqrt6$ 取得。因此 $a<\sqrt6-3/2$ ，严格边界不能收入。

第（3）问： $x_1,x_2$ 独立。对 $0\le u<v\le1$ ，

g(v)-g(u)=(v-u)(u+v+3)>0.

故 $g$ 在 $[0,1]$ 最小值为 $g(0)=-a^2-4$ 。原句等价于 $f$ 在该区间的最小值严格大于 $-a^2-4$ 。配方

f(x)=2(x-a/2)^2+2-\frac32a^2.

按轴位置分类：

$a<0$ 时最小值 $f(0)=2-a^2$ ，比 $g(0)$ 大 $6$ ，整个分支通过。
$0\le a\le2$ 时最小值 $2-3a^2/2$ ，差为 $6-a^2/2\ge4>0$ ，整个分支通过。若先解差严格正，应得 $-2\sqrt3<a<2\sqrt3$ ，而非含等号区间；再与本分支取交仍为 $[0,2]$ 。原解析这一中间开闭错误不改变本题最终结果。
$a>2$ 时最小值 $f(1)=4-2a-a^2$ ，差为 $8-2a>0$ ，得 $2<a<4$ 。

合并 $a<4$ 。充分性可统一选 $x_2=0$ ：任意 $x_1\in[0,1]$ 都有 $f(x_1)\ge\min f>g(0)$ 。若 $a\ge4$ ，取 $x_1=1$ ，则 $f(1)\le g(0)\le g(x_2)$ 对所有允许的 $x_2$ 成立，找不到见证。

为什么不能同点作差？例如 $a=2$ 时 $f(1)=g(1)=-4$ ，同点严格比较失败；但 $g(0)=-8$ ， $f$ 在区间的最小值为 $-4$ ，所以本问的全称—存在句仍真。也不能把第（2）问的参数范围带入本问。

本题结论

（1） $x\in(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$ ；（2） $a<\sqrt6-\frac32$ ；（3） $a<4$ 。