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随机变量不是给事件换一个字母，而是把每个试验结果按明确规则记成一个数。记录量与停止规则不同，得到的变量也可能不同。
样本空间为 Ω，随机变量 X 给每个样本点 ω 唯一实数 X(ω)。赋值规则本身固定，随机性来自试验结果尚未知道。本章所讨论的数值事件均有已定义的概率。
“单值”不等于“一一对应”：两个不同结果可以得到同一个数。甚至所有结果均赋值 c，仍是常量（退化）随机变量 X=c，它以概率1取值 c。随机变量定义不要求每次记录都变化。
| 对象 | 数学含义 | 取球例子 |
|---|---|---|
| 样本点 ω | 一次完整试验结果 | 抽到某两只具体球 |
| 事件 B | 满足条件的结果集合 | 至少取到一个红球 |
| 随机变量 X | 对每个结果作实数赋值 | 红球个数 |
| 指示变量 IB | B 发生记1，否则记0 | 是否至少取到一个红球的0/1记录 |
变量的数值条件又给出事件，即在原试验中寻找符合数值条件的结果：
{X=x}={ω∈Ω:X(ω)=x},{X≤t}={ω∈Ω:X(ω)≤t}.
这些是条件的原像。多个结果同值，正好可以合并进同一个取值事件。一个给定模型的概率 p 是固定数，不随本次结果改变；若把它赋给每个样本点，也构成常量变量，而不是事件本身。
不同取值有限个，或能够按序可列无限个地列出，就称离散型随机变量。人数、次数常为离散；理想连续模型中的时间、长度、测量误差通常不是离散。按固定精度舍入后记录的是另一个变量，不能混用两个模型。
观测到本次 X=x 后，实际记录已经确定；继续讨论分布，描述的是试验模型或尚未观测的下一次，而不是让已知事实重新变成未知。
先问每个结果能否得到唯一实数，再问不同值能否逐个列出。常量不能因“不变化”被排除；事件需要转换为数值记录才成为变量。
题目
下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的是（ ）
①某食堂在中午半小时内进的人数Z1； ②某元件的测量误差Z2；
③小明在一天中浏览网页的时间Z3； ④高一2班参加运动会的人数Z4；
A．①② B．③④ C．①③ D．①④
解析
①食堂人数和④参赛人数是非负整数记录，可逐个列出；②测量误差和③浏览时间在题用理想模型中按实区间连续变化。因此①④离散，A、B、C均混入连续变量。若现实只记录固定精度的时间或误差，舍入记录会是另一个离散变量，不改变本题模型下的判断。
本题结论
D。
先写“一次试验算做什么、何时停止”，再核最小、最大及中间值能否实现。推知最后一步会成功，不等于已经实际执行最后一步；只有规则允许提前辨识后停止，才可以少记那一步。
题目
一串钥匙有6把，只有一把能打开锁，依次试验，打不开的扔掉，直到找到能开锁的钥匙为止，则试验次数X的可能取值为（ ）
A．1，2，3，…，6 B．0，1，2，…，6
C．0，1，2，…，5 D．1，2，3，…，5
解析
若记录实际试开直到打开锁，正确钥匙可能在第6位，前5把失败之后仍须试开第6把，故 X∈{1,2,3,4,5,6}，对应A。0次不能打开，B、C不符合这种计数。
若允许前5次失败后，直接由唯一性辨识第6把而不再试开，辨识所需试验次数才为1至5，对应原答案D。题中“找到能开锁的钥匙”有此读法，而实际开锁次数是另一变量；应明确口径，不以答案倒改规则。
本题结论
实际试开至打开：A；允许推知后停止的辨识次数：D。
一个样本点被赋两个不同数才违反定义；不同样本点赋同一个数不违反。若问题特意只讨论随结果变化的非退化记录量，需要明确另加限制，不能把它当一般定义。
题目
袋中有2个黑球、5个红球，从中任取2个，可以作为随机变量的是（ ）
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
解析
B红球数可能为0、1、2，是随机变量。A对所有抽球结果均记录2，也是合法的常量随机变量。C是结果集合，须转成“发生记1，否则记0”才是变量。D是给定模型下的固定概率，若作为每个样本点的固定赋值，也得到常量变量。
原答案B把常量排除，这与一般单值定义冲突；不能以此题作为只有B成立的无歧义单选。若等概率抽两球，至少一红的概率为 1−(22)/(27)=20/21，这个常数也可作常量赋值。
本题结论
B成立，A亦为常量变量；D可作常量赋值，C本身是事件。本题不宜按一般定义判作唯一选B。
无中奖次数可以为0，直到第一次成功所做的实际次数通常至少1；必须依据记录量和停止规则判断。离散也不等于只能有限取值，可列无限取值仍属于离散。
