分组与分配：对象身份、接收者标签与隔板

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同样是“分成三份”，不同书与相同口罩、有名接收者与无名组、固定份数与至少一份，记录的结果都不一样。本页先辨识结果，再决定乘阶乘、除阶乘或用隔板。先修：选与排的区别、相邻与定序模型。

一、知识梳理

1. 先问身份，再问标签

不同元素分组：把 $n$ 个不同对象分成互不重叠且合起来为全集的组，记录每组成员。无标签组只记成员集合，交换组的书写顺序不产生新结果。有标签分配：另记录每组归甲、乙、丙等哪个接收者，同一批成员换接收者通常就是新结果。

相同元素分配：物件完全相同，给 $k$ 个不同接收者时，只需记录各份数量 $(x_1,\ldots,x_k)$ ，无需给物件人为编号。不同书即使各人本数相同，具体书目仍可能不同，不能只数数量向量。

审题四问：对象能否区分？组有无标签？大小是否已与标签对应？能否空组？“每人至少一”不等于均分，“无标签”不等于不分大小就除总组数的阶乘。

下表中 $M$ 为全部分完的相同物件数（非负整数）， $k$ 为有标签接收者数（正整数）。

对象与接收者	记录什么	基本处理
不同物件，有标签接收者	每人得到的具体成员	按指定标签顺次选，不因人数相同除阶乘
不同物件，无标签非空组	各组成员集合	仅去除可互换同大小组的重复
相同物件，有标签且每人至少一	正整数数量向量	内隙选板， $M\ge k$ 时 $C_{M-1}^{k-1}$
相同物件，有标签且允许空份	非负整数数量向量	星板排串， $C_{M+k-1}^{k-1}$

2. 固定大小：有标签顺次选，无标签只去等量重复

设 $k\ge1$ ， $n,r_1,\ldots,r_k$ 为非负整数， $r_1+\cdots+r_k=n$ 。若第 $i$ 个固定接收者恰得 $r_i$ 个不同对象，顺次选成员：

C_n^{r_1}C_{n-r_1}^{r_2}\cdots C_{r_k}^{r_k} =\frac{n!}{r_1!\cdots r_k!}.

每份最终名单唯一恢复这一选择过程；两个接收者得到相同数量，不是去掉标签的理由。已指定的空组用 $0!=1$ ，公式仍适用。

现在只指定无标签组的大小，且各组非空： $r_i\ge1$ 。若大小 $d$ 出现 $t_d$ 次，先为同大小组临时编号，每个实际分组恰被记了 $t_d!$ 次，各大小类别的交换互不影响，故

\text{无标签分组数}=\frac{n!}{r_1!\cdots r_k!\prod_d t_d!}.

不同大小的组可由大小辨识，不能再除 $k!$ 。有不同角色、必含成员等额外限制时，先检查同大小组在全部条件下能否互换、每个结果的重复次数是否一致，不能机械套除法。

3. 先分组再分配：标签只能产生一次

已组成 $k$ 个具体且非空的无标签组，若可任意送给 $k$ 个不同接收者，有 $k!$ 种分配。即使两组同样大，成员不同，把它们对调给人仍是不同结果。若人数已经指定对应某接收者，就只能分配符合人数条件的组，不能统一乘 $k!$ 。

空组不满足上述“不同非空组”前提：多个空组内容完全相同，互换不会产生新结果，不能直接用 $k!$ 。允许空组而每个标签大小已固定时，直接用上一节有标签公式最稳妥。

各组至少一但大小未知，先列所有可行的无序正整数大小型；每个最终结果恰属于一种大小型，分别计算再相加。例如总量为 $6$ 、三组非空，型只有 $(1,1,4)$ 、 $(1,2,3)$ 、 $(2,2,2)$ 。

4. 相同物件：正份与非负份是两种板模型

设 $M\ge0$ 为整数， $k\ge1$ 为整数，本模型不含 $k=0$ 。 $M$ 个同物全部发给 $k$ 个有标签接收者，等价于整数解 $x_1+\cdots+x_k=M$ 。

各至少一：须 $M\ge k$ 。将 $M$ 个物件排一列，在 $M-1$ 个内部不同空隙选 $k-1$ 处放板，一隙最多一板，得到 $C_{M-1}^{k-1}$ 。读各段长度可唯一还原板位； $M<k$ 无解。
各可为零：用 $M$ 颗星与 $k-1$ 块板排成串，板可相邻、可在首尾，分别表示内部或端部份数为零。从 $M+k-1$ 个符号位置选板位，得到 $C_{M+k-1}^{k-1}$ 。每个数量向量与一条星板串一一对应。这里不是继续在原来 $M-1$ 个空隙里禁止重复插板。

若各下限为非负整数 $l_i$ ，令 $y_i=x_i-l_i$ 、 $R=M-\sum_{i=1}^k l_i$ 。 $R<0$ 无解； $R\ge0$ 时余量是非负份，故有

C_{R+k-1}^{k-1}

种。 $R=0$ 只有各人恰取下限一种； $k=1$ 时总量决定唯一份数，满足下限才有这一种。若各 $l_i\ge1$ ，也可先给 $l_i-1$ ，再将余量分成每人至少一的正份，效果相同；别把预发量与后分份数分开误判。

5. 哪些额外限制不能被压缩掉

隔板只处理同物、有名接收者、全部分完与份数条件。接收者无标签时，交换数量分量可能是同结果，不能直接照用。有上限 $y_i\le u_i$ 时，基础隔板多计超限结果，应按超限类别或补集处理；多人同时超限的交叠要补回，不能各减一次了事。

把同馆的 $A,B$ 合成 $AB$ 是合并同去向的不同对象，不是把两个人变成一个人。没有额外真实人数限制时可按对象数分组；若每馆限真实人数，则 $AB$ 权重为 $2$ ，不可把每个对象都当一人。

复合排列还须保留块内顺序与其他类别邻接约束：一块内某元素必须居中，就只数合法内部次序；同类不邻不等于异类也不邻。临时压缩只是记录方式，展开后仍要逐条满足原条件。

二、考点与方法

方法 1：固定名单还是无名分组，先把标签写清

不同元素用成员名单记录结果。固定接收者的份数已给定，就依标签顺次选择，不再乘标签排列。
若问无标签组，按大小给临时标签，只除全部条件允许互换的同大小组的等量重复；最后一组由余下元素确定。
若仅给无序大小型而要分给人，先无标签分组，再分配具体非空组。至少一而大小未定，先列全大小型再求和。
最后从一个完整结果反向读出大小型、成员选择与接收者，核对每条路径恰出现一次。

例题 01 六本书的四种“分”

题目

6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的分法？

(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；

(2)分为三份，每份两本；

(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；

(4)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本．

（要求:以上4题最终答案均要用数字作答）

答案与解析

解析

(1) 有标签且大小固定。甲先选两本，乙从余四本选两本，丙拿余两本：

C_6^2C_4^2C_2^2=15\times6=90.

(2) 无标签且三组同样大。设无标签分组数为 $x$ 。每个实际分组的三份可以分给甲乙丙 $3!=6$ 种，而得到每人两本的方案，所以 $6x=90$ ， $x=15$ 。这证明了为什么每个结果恰重复六次，不是“平均就除”。

(3) 无标签但组大小互异。先选单本，再选两本，剩三本成一组： $C_6^1C_5^2=60$ 。大小已辨识三个组，不除 $3!$ 。

(4) 三人各至少一本。按取得本数的无序大小型分类：

$(2,2,2)$ ：就是第 (1) 问， $90$ 。
$(1,2,3)$ ：先按第 (3) 问分组 $60$ 种，再将三具体组分给人 $3!$ 种，共 $360$ 。
$(1,1,4)$ ：选四本组 $C_6^4=15$ 种，余两本各成一无名组，不必再选它们先后；三具体非空组分给三人 $3!$ 种，共 $90$ 。

这三型穷尽三个正整数和为 $6$ 的可能且互不重叠，共 $90+360+90=540$ 。

本题结论

(1) $90$ ；(2) $15$ ；(3) $60$ ；(4) $540$ 。

例题 02 学校有名字，人数是否已对应

题目

国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要按照以下要求到3所学校去任教，有多少种不同的分派方法.

(1)6人分配到三所学校甲学校1人、乙学校2人、丙学校3人；

(2)6人分配到三所学校一校1人、一校1人、一校4人；

(3)6人分配到三所学校每所学校至少一人；

答案与解析

解析

(1) 甲、乙、丙人数已对应为 $1,2,3$ ，所以 $C_6^1C_5^2C_3^3=60$ 。不能再乘 $3!$ ，否则改变各校人数限制。

(2) 哪校四人尚未指定。先选四人组 $C_6^4=15$ 种，余两人各自成组，再将三个具体非空组送往三个不同学校： $15\times3!=90$ 。等价地，先选四人学校 $3$ 种，选四人 $15$ 种，余两人分别去另外两校 $2$ 种，也为 $90$ 。

(3) 每校至少一的大小型只有 $(1,2,3)$ 、 $(1,1,4)$ 、 $(2,2,2)$ 。对应 $C_6^1C_5^2\cdot3!=360$ 、 $C_6^4\cdot3!=90$ 、 $C_6^2C_4^2=90$ ，共 $540$ 。最后一型学校仍有标签，不因人数同为二而再除 $3!$ 。

本题结论

(1) $60$ ；(2) $90$ ；(3) $540$ 。

方法 2：同物先减下限，异人另保身份

先写数量方程与每位下限，减去下限后判断余量能否为零。用非负星板或等价正份模型都可以，但要明确“已发数量 + 后分数量”。同一题的下一问若改为不同人员分馆，必须重新记录每人的去向，不能沿用数量隔板。

遇同去向人员可合并，再在每个对象大小型内部排除禁同组的结果。先无标签分组，后分到有名场馆；每个合法安排都能唯一压缩与展开，才不会因合并漏人或重计。

例题 03 同一批学生，发口罩与分场馆

题目

富源学校高二年级有6名同学（简记为A， $B$ ， $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ）到甲、乙、丙三个体育场馆做志愿者.

(1)一天上午有16个相同的口罩全部发给这6名同学，每名同学至少发两个口罩，则不同的发放方法种数？

(2)每名同学只去一个场馆，每个场馆至少要去一名，且A、 $B$ 两人约定去同一个场馆， $C$ 、 $D$ 不想去一个场馆，则满足同学要求的不同的安排方法种数？

答案与解析

解析

(1) 相同口罩计数量向量。先每人给 $2$ 个，已用 $12$ 个，余 $4$ 个可以有人一件也不再得。用 $4$ 颗星与 $5$ 块板，共 $9$ 个符号位，故 $C_9^5=126$ 。

原解另一路径也正确：先每人给 $1$ 个，余 $10$ 个再分成六个正份，在 $9$ 个内部不同空隙中选 $5$ 个放板，仍为 $C_9^5=126$ 。每人最终至少 $1+1=2$ ，不是只保证一件。两条路是同一数量向量的两种编码，不能把它们相加。

资料校正：原思路曾误写“6 个相同的口罩”，与题干及详解的 $16$ 个不一致。本题按明确的 $16$ 个计算，不改变题干。

(2) 不同学生计去向。将 $A,B$ 合成 $AB$ ，得到五个不同对象 $AB,C,D,E,F$ 。三个场馆非空，所以对象大小型只有 $(1,1,3)$ 或 $(1,2,2)$ ；这是对象数，不是原六人的真实人数型。

型 $(1,1,3)$ ：选三对象组 $C_5^3=10$ 种；若 $C,D$ 同组，第三对象可从其余三者中选，有 $3$ 种。合法无标签分组 $10-3=7$ 种，向三馆分配 $3!$ 种，得 $42$ 。
型 $(1,2,2)$ ：选单对象 $5$ 种，余四对象分两对 $C_4^2/2!=3$ 种，共 $15$ 。若 $C,D$ 同一对，单对象从 $AB,E,F$ 选，有 $3$ 种；合法无标签分组 $15-3=12$ 种，向三馆分配 $3!$ 种，得 $72$ 。

共 $42+72=114$ 。每个有效五对象安排展开 $AB$ 后唯一恢复六人方案，两类互斥穷尽。本题只要求场馆非空，所以可这样合并；若限真实人数，还要将 $AB$ 按两人核验。

本题结论

(1) $126$ ；(2) $114$ 。

方法 3：多个条件同时成立，压缩后再核内部与空隙

先把条件列成位置、邻接、块内顺序、接收者标签几类，优先处理限制最强的对象。选排不同对象用 $A_n^m$ ，选无序成员用 $C_n^m$ ，都要有合法整数下标，不能只堆记号猜数。

每次压缩后重查内部合法次序；每次插空后重查骨架同类能否仍相邻。分支要互斥穷尽，每一步可选数要对前一步各个合法结果一致，最后从完整安排能反向恢复分支。有限枚举可核某道题，不代替这套一般理由。

例题 04 节目既有类别，又有内部顺序

题目

某次联欢会要安排3个歌舞类节目 ${A}_{1},{A}_{2},{A}_{3},2$ 个小品类节目 ${B}_{1},{B}_{2}$ 和1个相声类节目 $C$ 的演出顺序，根据要求解答下列问题（最终结果用数值表示）：

(1)若两个小品类节目 ${B}_{1},{B}_{2}$ 不能排在第一位和最后一位，一共有多少种排法？

(2)若歌舞类节目 ${A}_{1},{A}_{2}$ 必须排在一起， ${A}_{3}$ 和 ${B}_{1},{B}_{2}$ 排在一起，并且 ${A}_{3}$ 在 ${B}_{1},{B}_{2}$ 中间，一共有多少种排法？

(3)若同类节目不相邻，请问一共有多少种排法？

答案与解析

解析

(1) 两小品按顺序选中间四位中的两位，有 $A_4^2=12$ 种；余四节目排余四位， $4!=24$ 种，共 $12\times24=288$ 。

(2) 三个外部对象是 $(A_1,A_2)$ 块、 $(B_1,A_3,B_2)$ 块及 $C$ 。第一块内部 $2!$ 种，第二块因 $A_3$ 居中只有左右互换 $2$ 种，不是 $3!$ ；外部全排 $3!$ 种，共 $3!\times2\times2=24$ 。

(3) 先排三个不同歌舞，有 $3!=6$ 种。两歌舞间的两个内隙必须各放至少一个非歌舞，不能空着；否则歌舞仍相邻。按 $B_1,B_2,C$ 是否彼此相邻分类：

三者互不相邻：各占一隙，必须占两内隙，再任选一端隙，隙集合 $2$ 种；三者在三个隙中排 $3!$ 种，共 $12$ 。
存在相邻：不能是两个小品相邻，只能 $C$ 与某一个小品相邻。选小品 $2$ 种，混合块内部 $2$ 种，混合块与另一小品分别放两内隙 $2$ 种，共 $8$ 。

不能把 $B_1CB_2$ 三者全放一个隙，因另一个内隙会空着。所以以上两类完整且互斥，总数 $6(12+8)=120$ 。只数三者全分开会漏第二类，不是“同类不邻”要求所有非歌舞也互不相邻。

本题结论

(1) $288$ ；(2) $24$ ；(3) $120$ 。

三、坑点辨析

1. 标签与大小不是同一回事

有名的甲乙丙各两本不能除 $3!$ ，无名三份大小 $1,2,3$ 也不能除 $3!$ ，无名三份各两本才要去掉临时标签的六重记录。例题 01 同时比较四种问法；例题 02 检查人数是否已与学校对应。资料中“同样多便除阶乘”的简述不完整，须限定无标签、全部条件可互换且等量重复。

2. 先给下限，余下不必再给一轮

先每人给 $2$ 再强制余量为正，会误成每人至少 $3$ ；先给 $1$ 再将余量分正份却恰能保证至少 $2$ 。例题 03 两条正确路径都保留，最后都计同一组方案。隔板不能替代不同书、不同学生的身份安排，也不能把无名接收者当作有名接收者。

3. 合并的是记录，不是原条件

同馆者合并后要区分对象数与真实人数；节目块要保留居中限制，插空要保证骨架的两个内隙都填上。例题 04 中异类相邻允许，禁止所有插入对象相邻反而漏数。多个限制要逐一核验，而非找一个口诀代替全部条件。

辨析 01 自编辨析｜空组能否任意换标签

题目

一本书分给甲、乙、丙，允许有人得零本。先分成“一份有书、两份为空”，再乘 $3!$ ，对吗？

答案与解析

解析

不对。最终只需决定谁得到书，共 $3$ 种。两个空组没有不同成员，互换不改变记录；临时将三组标号会将每个真实分配记两次。可用 $3!/2!=3$ ，但更稳妥是直接选择收书者，不能照搬“不同非空组任意分配”的 $k!$ 。

本题结论

$3$ 种；直接乘 $3!$ 重复。

辨析 02 自编辨析｜有上限时怎样扣除超限

题目

六个相同球全部分给甲、乙、丙，每人至多两个，允许零个。若从全部非负分配中分别扣掉每个人超限的情况，会发生什么？

答案与解析

解析

基础非负分配有 $C_8^2=28$ 种。某个人至少三个时，先给其三个，余三个任意非负分配，有 $C_5^2=10$ 种。直接 $28-3\times10=-2$ ，不是有效计数，因为两人同时至少三个的方案被减两次。

每一对人同时超限，只能各三、第三人零，有 $1$ 种，共三对；三人同时超限不可能。因此应补回 $3$ ，得 $28-30+3=1$ 。直接看总量六与三个上限二，也只能每人两个，独立核对一致。

本题结论

$1$ 种；多个人同时超限的交叠必须处理。