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外观

模型选择：诊断、题内规则与预测

约 1863 字大约 6 分钟

先读规则与数据，再拟合所选形式；题内阈值不是所有回归问题的通用标准。

知识点

残差形状与数值指标分工

记响应观测 yiy_i、拟合值 y^i\hat y_i、均值 yˉ\bar y，残差 ri=yi−y^ir_i=y_i-\hat y_i，SSE=∑ri2SSE=\sum r_i^2。残差图看0轴上下有无系统弯曲、带宽是否随解释变量改变。弯曲提示模型形式可能不足，扇形提示误差波动可能变化；零平均只是含截距OLS的代数性质，不足以确证合理模型。

同一响应样本与尺度，SST=∑(yi−yˉ)2>0SST=\sum(y_i-\bar y)^2>0 时，R2=1−SSE/SSTR^2=1-SSE/SST，SSE越小对应R²越大；在非恒定解释列的一元含截距OLS中才有 R2=r2R^2=r^2。相关强弱比 ∣r∣|r| 而非有符号大小。响应恒定时SST为0，R²比值未定义，不能强填1。高R²不证明因果或外推可靠，χ2\chi^2 也不能替代回归拟合指标。

规则、变换和共同尺度

决策依据要核实的内容
题目指定阈值按该题的区间和等号执行，不当作普遍统计标准
解释变量变为 v=g(x)v=g(x)逐个变换后求 vˉ\bar v 及离差和，核实定义域
同一原响应上的模型比较可在共同 yy 尺度比较SSE，样本与单位不变
响应变为 ln⁡y\ln y损失尺度变了，不直接比原SSE数字
用模型预测新点代入变换后的解释量，核范围、单位和外推假设

考点

计算与选择分步进行

  1. 核数据配对及两列均值，计算 Sxx,Syy,SxyS_{xx},S_{yy},S_{xy}，分母正时求 r=Sxy/SxxSyyr=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}。
  2. 按题给选择规则确定模型，保留足够精度，尤其靠近阈值时不先粗舍入。
  3. 对选择的解释变量逐点变换，再拟合响应；不能把 g(xˉ)g(\bar x) 当 g(x)‾\overline{g(x)}。
  4. 分清题给参考近似量与原观测全精度计算，检查参考公式和中间舍入。
  5. 回到原自变量形式，再代预测点并标明单位及适用条件。

例题 01 技术革新的两种回归模型

题目

某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费xx（单位：万元）和增加收益yy（单位：万元）的数据如下表：

xx4681012
yy2742555660

为了进一步了解技术革新投入经费xx对增加收益yy的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①y^=n^x+m^\hat{y}=\hat{n}x+\hat{m}，②y^=d^x+c^\hat{y}=\hat{d}\sqrt{x}+\hat{c}．

(1)根据以上数据，计算模型①中yy与xx的相关系数rr（结果精确到0.01）；

(2)若0.95≤∣r∣≤10.95\le |r|\le 1，则选择模型①；否则选择模型②．根据（1）的结果，试建立增加收益yy关于技术革新投入经费xx的回归模型，并预测x=16x=16时yy的值（结果精确到0.01）．

附：i）回归直线y^=b^x+a^\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}的斜率、截距的最小二乘估计以及相关系数分别为：b^=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)∑i=1n(xi−x‾)2=∑i=1nxiyi−nx‾y‾∑i=1nxi2−nx‾\hat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}}=\frac{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^{n} {x}_{i}^{2}-n\overline{x}}，a^=y‾−b^x‾\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}，r=∑i=1n(xi−x‾)(yi−y‾)∑i=1n(xi−x‾)2∑i=1n(yi−y‾)2r=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}}\sqrt{\sum _{i=1}^{n} {\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}^{2}}}

ii）参考数据：设vi=xi{v}_{i}=\sqrt{{x}_{i}}，2936≈54.18\sqrt{2936}\approx 54.18，29360≈171.35\sqrt{29360}\approx 171.35，v‾≈2.78\overline{v}\approx 2.78，∑i=15(vi−v‾)2≈1.33\sum _{i=1}^{5} {\left( {v}_{i}-\overline{v}\right)}^{2}\approx 1.33，∑i=15(vi−v‾)(yi−y‾)≈29.91\sum _{i=1}^{5} \left( {v}_{i}-\overline{v}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)\approx 29.91．

答案与解析

解析

（1）原数据 xˉ=8,yˉ=48\bar x=8,\bar y=48。直接计算

Sxx=40,Syy=734,Sxy=160,S_{xx}=40,\quad S_{yy}=734,\quad S_{xy}=160,

故 r=160/29360≈0.933774≈0.93r=160/\sqrt{29360}\approx0.933774\approx0.93。这个未舍入值也小于0.95，按本题指定规则选择模型②，不把0.95说成普遍标准。

（2）令 vi=xiv_i=\sqrt{x_i}，逐点变换后建立 y^=d^v+c^\hat y=\hat d v+\hat c。按题给参考近似数据，

d^≈29.911.33≈22.49,c^≈48−22.49×2.78≈−14.52.\hat d\approx\frac{29.91}{1.33}\approx22.49,\qquad\hat c\approx48-22.49\times2.78\approx-14.52.

因此按原给参考数值及舍入路径，y^≈22.49x−14.52\hat y\approx22.49\sqrt{x}-14.52，在 x=16x=16 时预测 22.49×4−14.52=75.4422.49\times4-14.52=75.44 万元。

参考式和参考数据须分别核对。 原附式的展开分母写成 ∑xi2−nxˉ\sum x_i^2-n\bar x，遗漏均值的平方。正确的是

Sxx=∑xi2−nxˉ2,S_{xx}=\sum x_i^2-n\bar x^2,

其前面的离差平方和式正确，不能沿用漏平方的展开式。

从表中五对观测保留全精度逐点开方，实际得到

量全精度计算的近似值
vˉ\bar v2.7808592286
SvvS_{vv}1.3341097545
SvyS_{vy}29.9694920795
d^\hat d22.4640378943
c^\hat c-14.4693270893
y^(16)\hat y(16)75.3868244880，保留两位为75.39

尤其 SvyS_{vy} 四舍五入到两位是29.97，不是题附29.91；差异不只是最终显示的小数位。故75.44属于使用题给参考量的预期答案，不能声称它与原表全精度OLS结果相同。若据原始观测重新精确拟合，应报告约75.39万元。

平方根模型需 x≥0x\ge0；原观测范围4至12，16是外推，预测还假定所选趋势继续适用，不保证真实收益。两候选模型使用相同原 yy 列，故也可以在原响应尺度比较SSE；但本题明确要求按给定 ∣r∣|r| 规则选择，不能擅自改题。

本题结论

（1）r≈0.93r\approx0.93；（2）选②，题附近似量口径75.44万元；原表全精度口径75.39万元

继续辨析拟合指标

四个拟合命题保留完整四选项，分别检查相关、中心、SSE与R²的条件。

坑点

阈值和舍入都不能越权

题内阈值只服务该题；接近边界时用足够精度，不用先舍入结果改变分支。参考数据若与原表计算不符，应分开两条数值口径，不把早舍入或误写包装成精确等式。

合理的样本拟合不保证未来

残差诊断、同尺度指标、定义域和新点范围都要看。外推、群体或机制改变时，高R²也不能替代额外验证。