函数拟合：求参、残差与外推

约 2864 字大约 10 分钟

用于求参的点会按方程通过，不等于其余数据也通过。先统一观测口径，再选候选、解参数、逐点核验，最后说明预测依赖的模型范围。

一、知识点概念与依据

1. 拟合不是无限范围的精确规律

将观测 $(x_i,y_i)$ 代入候选 $f(x)$ 求参数，是拟合的起点。几个有限点通常不能唯一确定所有可能的函数；“给定候选中较合理”不等于“已证明现实永远严格服从”。

必查口径	错配会造成的问题
输入起点与时间单位	同一数字对应不同经过时长
对象与输出单位	不同数量被误当同一序列
观测时点与预测时点	较早观测被当成较晚预测的残差
离散输入或连续输入	虚构实际不存在的中间状态

输入起点、单位、对象和测量时点必须一致。10月底观测与同年年末预测是两个时点，不能简单视为同一输入处残差。预测还须满足实际范围，正整数年份与连续经过时间不可互换。

若要求精确模型，应逐点相等；若近似拟合，记录残差“预测−观测”。未给误差标准，只能如实比较，不得宣称某方法严格最优，也不能修改原表来消除残差。

2. 等距差值揭示结构，但有前提

输入等距 $h>0$ 时，一次式相邻输出差固定。二次式的平方差为 $(x+h)^2-x^2=2hx+h^2$ ，一次差随输入等差变化，二次差固定。输入不等距则不能直接用未经换算的差值作判据。

平移指数式 $y=ka^x+b$ 、 $a>0$ 在输入 $x_0,x_0+h,x_0+2h$ 的两差为

d_1=ka^{x_0}(a^h-1),\quad d_2=ka^{x_0+h}(a^h-1).

$d_1\ne0$ 才能除，得到 $d_2/d_1=a^h$ ；只有 $h=1$ 时直接等于 $a$ 。若差为0，先查恒定退化或数据冲突，不除0。

一次式用两个不同输入，二次式用三个不同输入；条件数看似足够也须独立。对数模型两点相减消常数，但必须真数正。带绝对值的模型还须检验另一支，不能只看前三点共线就宣布整个表是一次式。

3. 选择模型还要看定义域和变化趋势

首先排除原数据上无定义的候选；其次判断增长/衰减方向，以及等长时间增量是加大还是减小。两个函数都递增，不能据此判定其中一个。

剩余点是真正的额外检验。所有有限点吻合以后，后续优化仍须重新写实际目标，例如每小时耗电量乘行驶小时才是全程耗电。相关完整例见车辆时间与充电，不能把拟合目标与优化目标混为一谈。

二、考点方法与例题

1. 平移指数与二次式分别拟合，比较未用点

等距三点先相减消常数，非零差相除求倍率；再回代求尺度和基准。另一个候选也可通过这些求参点，应检查其后续趋势与余下观测，不只看解参能否成功。

例题 01 茶水温度模型的拟合与预测

题目

中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和茶水的温度有关．经验表明，某种绿茶，用一定温度的水泡制，再等到茶水温度降至某一温度时，可以产生最佳口感．某研究员在泡制茶水的过程中，每隔1min测量一次茶水温度，收集到以下数据：

时间/min	0	1	2	3	4	5
水温/℃	85	79	73.6	68.74	64.34	60.24

设茶水温度从85°C开始，经过 $t$ min后温度为 $y$ ℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律．现有以下两种函数模型供选择：① $y=k{a}^{t}+b$ ；② $y=a{t}^{2}+bt+c$

(1)选出你认为最符合实际的函数模型，说明理由，并参考表格中前3组数据，求出函数模型的解析式；

(2)若茶水温度降至55°C时饮用，可以产生最佳口感，根据（1）中的函数模型，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

（参考数据： $\lg 2\approx 0.30,\lg 3\approx 0.48$ ）

答案与解析

解析

（1）指数式前三点给 $k+b=85,ka+b=79,ka^2+b=73.6$ 。相邻差为 $-6,-5.4$ ，前差非零，故 $a=0.9$ ；由 $k(a-1)=-6$ 得 $k=60,b=25$ 。模型 $y=60(0.9)^t+25$ 在 $t\ge0$ 下降并趋近25，符合恒环境冷却的候选解释；25是拟合基准，题中没有独立测量室温。

二次候选同样能通过前三点： $y=0.3t^2-6.3t+85$ 。其对称轴10.5分钟，之后升温，不适合作长期冷却解释。

余下点逐一核验：

时间	原表	指数预测	指数残差	二次预测
3	68.74	68.74	0	68.8
4	64.34	64.366	0.026	64.6
5	60.24	60.4294	0.1894	61.0

指数误差较小，但后两差异不是都能解释成保留两位小数，不能声称六点精确吻合。有限数据只能支持候选内的近似选择。

（2）代55得 $(0.9)^t=1/2$ ，所以

t=\frac{\lg(1/2)}{\lg0.9}=\frac{\lg2}{1-2\lg3}.

用题目指定粗参考数得 $0.30/(1-0.96)=7.5$ 分钟，与原答案一致；按实际对数独立重算约6.5788135分钟。后者才是此模型常数的高精度阈值，两种近似口径不能混称。若另要求不高于55的最小整数分钟，6分钟约56.8865、7分钟约53.6978，故为7，不是把6.5788向下取整。

本题结论

选指数近似 $y=60(0.9)^t+25$ ；原参考值口径约7.5分钟，高精度模型阈值约6.58分钟。

2. 对数拟合及远超观测区间的预测

用实际起始域排除无定义模型，再比较等时长增量。解指定两点后核其余点，并把阈值化为不等式；预测落在测量范围之外时明确是外推而非已验证观测。

例题 02 对数模型的观测与远期预测

题目

在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 $y$ （单位：百万个）与培养时间 $x$ （单位： $t$ 小时）的关系如下表：

$x$	2	3	6	9	12	15
$y$	3.2	3.5	3.8	4	4.1	4.2

根据表格中的数据画出散点图如下：

散点图为示意，具体数值以表格为准。

为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种函数模型供选择：① $y=m{\log }_{3}x+n$ ；② $y=m\sqrt{x-4}+n$ ；③ $y={3}^{x-m}+n$ .

(1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；

(2)请选取表格中的 $\left( 3,3.5\right)$ ， $\left( 9,4\right)$ 两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测至少培养多少个小时，细菌数量达到5百万个.

答案与解析

解析

散点图只辅助看总体趋势，不按图的示意比例或点的绘制高度定量。

（1）模型从第2小时开始须覆盖 $x\ge2$ ，②在 $2\le x<4$ 的根式无意义，排除。③为 $3^{-m}3^x+n$ ，正系数使相同时间跨度的增量越来越大，不合题给逐渐减缓。①拟合若得 $m>0$ ，则等长增量 $m\log_3((x+h)/x)$ 随 $x$ 增大而减小，可符合。

（2）指定点给 $m+n=3.5,2m+n=4$ ，故 $m=0.5,n=3$ ，模型 $y=0.5\log_3x+3$ 。其余输入2、6、12、15的预测约3.3155、3.8155、4.1309、4.2325；原表3.2、3.8、4.1、4.2。后面三点可与一位小数舍入一致，2小时的差约0.1155却不符通常舍入，应保留这一偏差。

达到5百万个需 $0.5\log_3x+3\ge5$ ，即 $\log_3x\ge4$ ，因底3大于1得 $x\ge81$ 。81处等号可取，所以按模型至少81小时。原表只测到15小时；81是依赖模型继续适用的外推，不能说已由实验验证。原图用于核坐标与趋势，不按绘图比例添加新条件。

本题结论

选①； $y=0.5\log_3x+3$ ，按该模型至少81小时，属于未实测外推。