单位圆、三角函数值与诱导变换

约 5046 字大约 17 分钟

三角函数把角对应到数。先用坐标定义明确输入、输出和合法范围，再把终边的对称关系转成函数值的变号或交换，求值便不必先解出角。

一、知识点概念与依据

1. 终边上的坐标比定义三个函数

把角放在标准位置：顶点在原点，始边沿正 $x$ 轴。取终边上一个非原点 $P(x,y)$ ，令距离 $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ ，定义

\sin\alpha=\frac yr,\qquad\cos\alpha=\frac xr,\qquad\tan\alpha=\frac yx\quad(x\ne0).

角 $\alpha$ 是输入，坐标比是输出，没有长度单位。 $r$ 是正距离，不随象限变号； $x,y$ 则保留坐标符号。原点不能作定义点，因为它给 $r=0$ 。

锐角在第一象限时， $y,x,r$ 分别对应直角三角形的对边、邻边、斜边，三个比值接上初中的定义。扩展到其他象限后，几何边长仍非负，坐标却能变号，因此采用有向坐标而不是给距离随意加负号。

2. 取点远近不影响比值，单位圆可直接读坐标

同一射线的两个非原点相差正比例缩放。把点换成 $(tx,ty)$ ， $t>0$ ，距离变为 $tr$ ，则

\frac{ty}{tr}=\frac yr,\qquad\frac{tx}{tr}=\frac xr,\qquad\frac{ty}{tx}=\frac yx\ (x\ne0).

因此函数值由终边决定，不由取点远近决定。取 $t=1/r$ ，得到半径为1的单位圆交点

\left(\frac xr,\frac yr\right)=(\cos\alpha,\sin\alpha).

顺序是先余弦、后正弦。只有确知半径为1才能直接读坐标；一般点必须先除以距离。若只给一条过原点的直线，还含两条相反射线：相反点的正弦余弦都变号，正切的两个坐标同时变号，比值不变（有定义时）。

3. 正负表和轴线值必须分开

正弦符号跟 $y$ ，余弦符号跟 $x$ ，正切看 $y/x$ 。由四象限坐标符号直接得到：

象限	$x$	$y$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
一	正	正	正	正	正
二	负	正	正	负	负
三	负	负	负	负	正
四	正	负	负	正	负

一个符号往往只定位两个象限，例如正弦正只给一或二。多个符号条件要取交集；乘积正要求两因子同号且均非零，乘积负要求异号。不能因为角本身为负，就给函数值都加负号。

轴线另列：

终边	单位圆点	正弦	余弦	正切
正 $x$ 轴	$(1,0)$	0	1	0
负 $x$ 轴	$(-1,0)$	0	$-1$	0
正 $y$ 轴	$(0,1)$	1	0	无定义
负 $y$ 轴	$(0,-1)$	$-1$	0	无定义

若给的是 $P(\sin\alpha,\cos\alpha)$ ，不能把点的象限直接当成角的象限。例如该点在第四象限，横正纵负给 $\sin\alpha>0,\cos\alpha<0$ ，故角在第二象限：第一象限的余弦正、第三象限的正弦负都不合，第四象限的两个符号都相反。这里交换的是题中两个坐标的位置，并非单位圆的标准读法发生变化。

4. 定义域、函数值范围和除法条件

正弦、余弦对任意实角有定义。因为 $|x|\le r,|y|\le r$ ，它们的值必在 $[-1,1]$ ；反过来，任取 $t\in[-1,1]$ ，点 $(\sqrt{1-t^2},t)$ 在单位圆上，正弦为 $t$ ；交换横纵坐标又给余弦为 $t$ 。因此两个函数确实都取遍这一范围。

正切要求 $x\ne0$ ，所以必须排除 $\alpha=\pi/2+k\pi$ ， $k\in\mathbb Z$ 。在这些角上，不是三个函数一起无定义：正弦仍为1或 $-1$ ，余弦为0。正切无定义也不能写成“值为无穷大”。

在 $\cos\alpha\ne0$ 时，定义还给

\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{y/r}{x/r}=\frac yx=\tan\alpha.

写含除式的条件时，先排分母零和原函数无定义，再判正负。后面诱导、约分都不能扩大这个原范围。

5. 特殊角来自几何，不只是背数表

$45^\circ$ 的单位圆点在第一象限的直线 $y=x$ 上。由 $x^2+y^2=1$ 得 $2x^2=1$ ，再由坐标正得到 $x=y=\sqrt2/2$ 。

对 $30^\circ,60^\circ$ ，把边长2的等边三角形作高，底边一分为二为1，高由勾股定理为 $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ 。半个三角形斜边2，30度的对边1、邻边 $\sqrt3$ ；60度交换对边和邻边。按定义相除即可得到：

角度	弧度	正弦	余弦	正切
$0^\circ$	0	0	1	0
$30^\circ$	$\pi/6$	$1/2$	$\sqrt3/2$	$\sqrt3/3$
$45^\circ$	$\pi/4$	$\sqrt2/2$	$\sqrt2/2$	1
$60^\circ$	$\pi/3$	$\sqrt3/2$	$1/2$	$\sqrt3$
$90^\circ$	$\pi/2$	1	0	无定义

0度、90度直接看轴上的单位圆点，不必借退化直角三角形。180度的点是 $(-1,0)$ ，270度的点是 $(0,-1)$ ，由上节轴线表读值；180度不能当成0度，因为余弦相反。

大角、负角先定位终边，再用对称和特殊角，保留精确分数、根式。例如 $2190^\circ=6\cdot360^\circ+30^\circ$ ，正弦为 $1/2$ ；负的 $1/2$ 符号不合，正负 $\sqrt3/2$ 都不是该角的正弦。整周不改函数值，不意味着2190度与30度是相等角。

6. 诱导公式就是坐标相同、变号或交换

设角 $\alpha$ 的单位圆点为 $(x,y)=(\cos\alpha,\sin\alpha)$ 。增加整周回到同一点；关于 $x$ 轴、 $y$ 轴、原点对称，分别得到 $(x,-y),(-x,y),(-x,-y)$ ，对应角 $-\alpha,\pi-\alpha,\pi+\alpha$ 。

逆时针转直角时，原来的横向距离转成纵向，原来的纵向距离转成反向横向，点变为 $(-y,x)$ ，对应 $\pi/2+\alpha$ ；关于 $y=x$ 对称则交换坐标，得到 $(y,x)$ ，对应 $\pi/2-\alpha$ 。这些都是单位圆和坐标轴的几何关系，不用提前借助和差角公式。

按余弦读横、正弦读纵、正切读纵除横，就得下表。 $k\in\mathbb Z$ ；正切或比值只在对应分母非零的原合法范围使用。

角	正弦	余弦	正切
$2k\pi+\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
$\pi+\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$\tan\alpha$
$-\alpha$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$-\tan\alpha$
$\pi-\alpha$	$\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\tan\alpha$
$\pi/2-\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha/\sin\alpha$
$\pi/2+\alpha$	$\cos\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha/\sin\alpha$
$3\pi/2+\alpha$	$-\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$-\cos\alpha/\sin\alpha$
$3\pi/2-\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha/\sin\alpha$

最后两行由 $\pi/2\pm\alpha$ 再加半周得到，两个坐标同时变号。正弦、余弦关系对任意实角成立；涉及正切或比值时仍须满足前述定义域条件，并不要求 $\alpha$ 为锐角。尤其相反角给正弦、正切的奇性和余弦的偶性，不能看到减号就让三个函数都变号。

7. 半周与四分之一周的“奇偶”不是同一说法

整数 $n$ 个半周使两坐标在 $n$ 偶时不变、奇时同时变号，因此

\sin(n\pi+\alpha)=(-1)^n\sin\alpha,\qquad\cos(n\pi+\alpha)=(-1)^n\cos\alpha.

正切是两坐标之比，同时变号会约掉，所以 $\tan(n\pi+\alpha)=\tan\alpha$ ，仍保留原正切有定义的条件。

“奇变偶不变”指的是 $\pi/2$ 的倍数：奇数个四分之一周要交换正弦余弦，偶数个保持函数名，但符号还要看具体加减关系。临时设小锐角只可用于识别公式系数，不能据此限制题中的任意角；坐标变化给出了不依赖这个假设的证明。

例如令 $t$ 为任意实角，有

\sin(t-\pi/2)=-\sin(\pi/2-t)=-\cos t.

也可由顺时针直角旋转 $(\cos t,\sin t)\mapsto(\sin t,-\cos t)$ 直接读纵坐标。写成 $\sin t$ 是既不换名也不改号；写成 $-\sin t$ 只改号；写成 $\cos t$ 只换名。某个特殊角上两式偶然相等，不证明恒等关系。

8. 比值存在，不保证其中另一种写法存在

诱导表直接写 $\cos\alpha/\sin\alpha$ ，不另引余切符号。不要无条件替换为 $1/\tan\alpha$ ：当 $\alpha=\pi/2$ 时，前者有定义且为0，但 $\tan\alpha$ 本身无定义，后者不能写。

反过来，原式含正切或分母时，先记录对应余弦、分母非零，再诱导和约分。得到的新式即使在更多角上可计算，也只在原范围内与原式相等。角度制的90度、180度分别换成 $\pi/2,\pi$ 使用同样的角关系。

二、考点方法与例题

1. 终边点求值：距离、符号、比值三步

先确认非原点及是否为单位圆；一般点先求正距离。若由单位圆方程补未知坐标，开方留正负两支，再用原象限或坐标条件选符号。按所求函数取正确比值，正切先查横坐标非零；用正弦余弦绝对值不超过1及坐标符号回验。

坐标含参数而给定函数值时，先列未平方的定义式，记录原符号；平方求出的候选还须回代原式。只给整条直线时要区分两个射线，不能任选一点后把正弦余弦符号当作唯一。

2. 诱导求值：先统一角，再处理代数

数值角先去整数周，再联系特殊角；字母角先看已知与所求的和或差是否恰为半周、四分之一周，可以把整个已知角记为 $t$ 。逐项核函数名和符号，再作平方、乘除和合并。平方中的负号可能消失，乘积各处的负号却要逐个保留。

求值不必变成求角方程。一个函数值可能对应多个角，而诱导关系已经足够唯一决定所求输出。全过程先保留原分母与正切条件，最后核范围，而不是只看最终式。

例题 01 一般终边点的正弦值

题目

已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P\left( -3,2\right)$ ，则 $\sin \alpha =$ （）

A． $\frac{2\sqrt{13}}{13}$ B． $-\frac{2\sqrt{13}}{13}$ C． $\frac{3\sqrt{13}}{13}$ D． $-\frac{3\sqrt{13}}{13}$

答案与解析

解析

给定点不是单位圆点，纵坐标2不能直接作正弦。先算正距离

r=\sqrt{(-3)^2+2^2}=\sqrt{13},\qquad\sin\alpha=\frac2{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}.

A正确。B误改纵坐标符号；C用了横坐标绝对值3；D实际为余弦 $-3/\sqrt{13}$ ，不是正弦。终边位于第二象限，应正弦正、余弦负，亦可核符号；正弦小于1，也排除了直接报纵坐标2的错法。

本题结论

选A。

例题 02 由单位圆补坐标并求三个函数值

题目

已知角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P\left( \frac{1}{5},m\right)$ ，其中 $m<0$ ．

(1)求实数 $m$ 的值；

(2)求 $\sin \alpha ,\cos \alpha ,\tan \alpha$ 的值．

答案与解析

解析

（1）半径为1给 $1/25+m^2=1$ ，所以 $m^2=24/25$ ，先得 $m=\pm2\sqrt6/5$ 。再按 $m<0$ 选择

m=-\frac{2\sqrt6}{5}.

（2）此时单位圆点横正纵负，位于第四象限。正弦读纵坐标，余弦读横坐标；横坐标 $1/5\ne0$ ，可以求正切：

\sin\alpha=-\frac{2\sqrt6}{5},\qquad\cos\alpha=\frac15,\qquad\tan\alpha=\frac{-2\sqrt6/5}{1/5}=-2\sqrt6.

三者依次负、正、负，与所在象限吻合。坐标平方和 $1/25+24/25=1$ ，同时核了长度和符号选择。不能把“开平方”简写为只得正根，也不能因为原点在圆心就把它作终边定义点。

本题结论

$m=-2\sqrt6/5$ ； $\sin\alpha=-2\sqrt6/5$ ， $\cos\alpha=1/5$ ， $\tan\alpha=-2\sqrt6$ 。

例题 03 一条直线上的两个单位圆交点

题目

已知直线 $y=x$ 与以原点为原心的单位圆交于 $A,B$ 两点，点 $A$ 在 $x$ 轴的上方， $O$ 是坐标原点．

(1)求以射线 $OA$ 为终边的角 $\alpha$ 的正弦值和余弦值；

(2)求以射线 $OB$ 为终边的角 $\beta$ 的正切值．

答案与解析

解析

联立 $y=x$ 与 $x^2+y^2=1$ ，得到 $2x^2=1$ ，两个交点为

\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right),\qquad\left(-\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right).

（1）A在 $x$ 轴上方，取纵坐标正的交点。半径为1，故 $\sin\alpha=\sqrt2/2,\cos\alpha=\sqrt2/2$ 。

（2）B是另一个交点，横纵坐标均负，但两者相除为正： $\tan\beta=(-\sqrt2/2)/(-\sqrt2/2)=1$ 。不能因为在第三象限就把正切写为 $-1$ 。

一条直线给两条不同终边，A、B的正弦余弦相反；只是正切在这里相等。

本题结论

（1） $\sin\alpha=\cos\alpha=\sqrt2/2$ ；（2） $\tan\beta=1$ 。

例题 04 两条乘积符号条件的交集

题目

已知 $\sin \theta \cos \theta >0$ ， $\sin \theta \tan \theta <0$ ，则角 $\theta$ 是（）

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

答案与解析

解析

第一条 $\sin\theta\cos\theta>0$ 要求正弦余弦同号且均非零，得到一或三象限。第二条 $\sin\theta\tan\theta<0$ 要求正弦正切异号，得到二或三象限。两条取交，只有第三象限。

逐项检查：A中三个函数都正，第二积不负；B中正弦正、余弦负，第一积不正；C中正弦负、余弦负、正切正，两条均成立；D的第一积也负。严格不等式排除了轴上的零值，正切存在还排除了 $y$ 轴。

还可在原合法条件下写 $\sin\theta\tan\theta=\sin^2\theta/\cos\theta<0$ 。第一条件使正弦非零，分子严格正，所以余弦负；再由第一积正推出正弦负，同样定位第三象限。

本题结论

选C。

例题 05 两个复合角之间的关系

题目

若 $\cos \left( \alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{4}{5}$ ，则 $\sin \left( \alpha -\frac{\pi }{6}\right)=$ （）

A． $\frac{3}{5}$ B． $-\frac{3}{5}$ C． $\frac{4}{5}$ D． $-\frac{4}{5}$

答案与解析

解析

令 $t=\alpha+\pi/3$ 。所求角恰为

\alpha-\pi/6=t-\pi/2.

因此 $\sin(t-\pi/2)=-\cos t=-4/5$ ，选D。可先用相反角把它写为 $-\sin(\pi/2-t)$ ，再用余角关系，负号不会丢。

C保留大小却漏负号；A、B的 $3/5$ 是另一个函数值的可能大小，不是本题所求。这里并未给 $t$ 的象限，若绕远路单求 $\sin t$ 还需正负分支；但所求直接由已知余弦决定，根本不用开方或解角。

本题结论

选D。

例题 06 负角与多周角的混合求值

题目

$\cos \left( -\frac{13\pi }{4}\right)+\sin \frac{7\pi }{2}=$ （）

A． $1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ B． $1-\frac{\sqrt{2}}{2}$ C． $-1+\frac{\sqrt{2}}{2}$ D． $-1-\frac{\sqrt{2}}{2}$

答案与解析

解析

余弦取相反角不变，所以

\cos(-13\pi/4)=\cos(13\pi/4)=\cos(5\pi/4)=-\cos(\pi/4)=-\frac{\sqrt2}{2}.

也可直接给原负角加 $4\pi$ ，得到第二象限的 $3\pi/4$ ，余弦同为 $-\sqrt2/2$ 。第二项去一整周： $\sin(7\pi/2)=\sin(3\pi/2)=-1$ 。相加为 $-1-\sqrt2/2$ 。

A把两个值都误记正；B保留余弦负号，却把正弦写成1；C保留正弦 $-1$ ，却把余弦写正；D正确。每项分别判断，不要在总和最后随意补一个负号。

本题结论

选D。

例题 07 含正切的诱导与约分

题目

化简 ${\cos }^{2}\left( 180^{\circ}+\alpha \right)\tan \left( -\alpha +180^{\circ}\right)-2\sin \left( -180^{\circ}+\alpha \right)\cos \left( -\alpha \right)$ ．

答案与解析

解析

原式中的 $\tan(180^\circ-\alpha)$ 要求 $\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\ne0$ ，先保留 $\cos\alpha\ne0$ 。

逐项变换：

\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha,\quad\tan(180^\circ-\alpha)=-\tan\alpha,

\sin(\alpha-180^\circ)=-\sin\alpha,\quad\cos(-\alpha)=\cos\alpha.

第一处余弦平方会消去负号，但其后的正切负号仍保留。原式成为

-\cos^2\alpha\tan\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha =-\cos^2\alpha\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+2\sin\alpha\cos\alpha =\sin\alpha\cos\alpha.

约去一个余弦合法，正是因为原范围已经要求它非零。结果在余弦为零时也能写出0，但原正切无定义，这些角不能补回。

本题结论

化简为 $\sin\alpha\cos\alpha$ ，保留原条件 $\cos\alpha\ne0$ 。