向量证平行：方向相同还要位置分离

约 2383 字大约 8 分钟

把方向条件与排除重合、包含的条件分别证明。

一、知识点理解概念

1. 先分向量角色，再分方向与位置

下表中 $\vec u,\vec v$ 为直线的非零方向向量， $\vec n,\vec m$ 为平面的非零法向量。对象必须真实存在：两不同点才能定直线，三不共线点或两个不共线面内方向才能定平面。

目标	方向条件	位置条件或说明
两条不同直线平行	$\vec u=\lambda\vec v,\lambda\ne0$	排除两线重合
直线平行平面	$\vec u\cdot\vec n=0$	排除直线包含于面
两个不同平面平行	$\vec n=\lambda\vec m,\lambda\ne0$	排除两面重合
两线方向垂直	$\vec u\cdot\vec v=0$	可相交也可异面；相交须另证
直线垂直平面	$\vec u=\lambda\vec n,\lambda\ne0$	有效线面下此条件已保证相交
两平面垂直	$\vec n\cdot\vec m=0$	法向量必须真实、非零

线面平行的方向条件也可写成 $\vec u=x\vec a+y\vec b$ ，其中 $\vec a,\vec b$ 是面内两个不共线方向；它们张成整个平面方向，所以这等价于 $\vec u\cdot\vec n=0$ 。这只确定方向，仍须排除直线在面内。

共线优先用同一倍率方程，避免以零坐标作分母。负倍率只改变所取向量方向，不妨碍平行。垂直的证明与完整例题见向量证垂直。

2. 为何只检验一个位置点就够

两线方向共线时，分别取点 $A,B$ 。若 $\vec{AB}$ 也共线于共同方向，两线重合；否则方向相同而不相交，故平行。

设直线过 $A$ ，方向为 $\vec u$ ，平面过 $Q$ ，法向量为 $\vec n$ 。已知 $\vec u\cdot\vec n=0$ ，则线上任一点 $P$ 满足

\vec n\cdot\vec{QP}=\vec n\cdot(\vec{QA}+t\vec u)=\vec n\cdot\vec{QA}.

右边是常数。为零时整条线在面内，非零时整条线在面外且不与面相交。因此检查线上一个真实点就足够，不是凭图上“分开”判断。

两个平面的非零法向量共线时，它们方向相同。分别取 $A\in\alpha,B\in\beta$ ，用共同法向量 $\vec n$ 检查 $\vec n\cdot\vec{AB}$ ：为零则两面重合，非零则严格平行。在任一面内移动点，只增加点积为零的面内位移，所以这个法向差不变。

二、考点方法与例题

1. 共线之后，用连接向量排除重合

求两非零方向并写同一倍率，再取两线上各一点的连接向量，检查它是否也属于该方向。只有方向相同且位置不同，才能写两线平行。

例题 01 四个空间点所定两线

在空间直角坐标系中，已知 $A\left( 1,2,3\right)$ ， $B\left( -2,-1,6\right)$ ， $C\left( 3,2,1\right)$ ， $D\left( 4,3,0\right)$ ，则直线 $AB$ 与 $CD$ 的位置关系是（）

A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交但不垂直

答案与解析

$\vec{AB}=(-3,-3,3),\vec{CD}=(1,1,-1)$ ，所以 $\vec{AB}=-3\vec{CD}$ ，二方向非零且共线。

但还要查重合。 $\vec{AC}=(2,0,-2)$ ，若 $\vec{AC}=t\vec{AB}$ ，第二项给 $t=0$ ，第一项却有 $2=0$ ，矛盾。因此 $C$ 不在 $AB$ 上，两线不同，确为平行，选 B。其余异面、垂直、相交但不垂直均不符合。负倍率只说明两个选定方向相反。

2. 中点坐标把两个平行目标一起连起来

先证明建系的三轴两两垂直，再用中点公式；线面检验方向与一个面外点，面面还须证三点非共线。也可用一个面内两条相交直线分别平行目标面，完整写明面内、相交和排除包含。

例题 02 矩形底面的中点连线与截面

如图所示， $ABCD$ 为矩形， $PA\perp$ 平面 $ABCD$ ， $PA=AD$ ， $M$ ， $N$ ， $Q$ 分别是 $PC$ ， $AB$ ， $CD$ 的中点．求证：

(1) $MN//$ 平面 $PAD$ ；

(2)平面 $QMN//$ 平面 $PAD$ ．

答案与解析

非退化矩形中设 $AB=b>0,AD=AP=d>0$ 。由 $PA\perp$ 底面有 $PA\perp AB,PA\perp AD$ ，矩形又给 $AB\perp AD$ ，三轴确实互垂。以 $A$ 为原点，沿 $AB,AD,AP$ 建直角坐标系：

B=(b,0,0),D=(0,d,0),P=(0,0,d),C=(b,d,0),

M=(b/2,d/2,d/2),N=(b/2,0,0),Q=(b/2,d,0).

(1) 平面 $PAD$ 是 $x=0$ ，法向量可取 $\vec n=(1,0,0)$ 。 $\vec{MN}=(0,-d/2,-d/2)\ne\vec0$ ，与 $\vec n$ 点积为零。整条 $MN$ 的 $x=b/2>0$ ，故它不在 $PAD$ 内且不与其相交，得到 $MN\parallel$ 平面 $PAD$ 。

(2) $\vec{QN}=(0,-d,0)$ 与 $\vec{MN}$ 不共线，因为前者第三项为零，后者非零。因此 $Q,M,N$ 确定真正平面，且均在 $x=b/2$ ，其平面就是 $x=b/2$ 。它与 $PAD:x=0$ 方向相同而位置不同，故两面平行。

也可沿相交直线判定： $\vec{QN}\cdot\vec n=0$ 且 $QN$ 的 $x=b/2>0$ ，所以 $QN\parallel$ 平面 $PAD$ 。 $MN,QN$ 均在 $QMN$ 内并交于 $N$ ，由两条相交直线都平行另一平面的判定，得到面面平行。这一证明同样必须保留排除包含的步骤。

3. 仅给方向时，区分“能够”与“必然”

先算方向数量积，筛出与平行相容的方向。没有任何位置点的数据时，不能宣称已排除线在面内；应按题目“能使”的存在性措辞理解，并说明界限。

例题 03 方向与法向量的四组搭配

若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{r}$ ，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{n}$ ，能使 $l//\alpha$ 的是（）

A． $\vec{r}=\left( 1, 0, 0\right), \vec{n}=\left( -1, 0, 0\right)$ B． $\vec{r}=\left( 1, -2, 3\right), \vec{n}=\left( 0, 3, 2\right)$

C． $\vec{r}=\left( 0, 1, 1\right), \vec{n}=\left( -1, 0, -1\right)$ D． $\vec{r}=\left( 1, 3, 5\right), \vec{n}=\left( 1, 0, -1\right)$

答案与解析

四组向量均非零，依次数量积为 $-1,0,-1,-4$ ，只有 B 满足平行方向条件。

若“能使”指存在位置使其严格平行，选 B。例如取 $\alpha:3y+2z=0$ ，取方向 $(1,-2,3)$ 、经过 $(0,1,0)$ 的直线，沿线 $3y+2z$ 恒为 $3\ne0$ ，故严格平行。

但若相同方向的直线经过原点，则整条线在该平面内。可见方向数据本身不保证已经严格平行。不能把原题悄悄加成“已知直线不包含于平面”；这里只解释 B 的可能性与边界。其余三组数量积非零，不可能取得平行位置。