二次函数：配方、图象、距离比较与限定区间

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从配方推导对称轴和单调方向，再把系数、零点、实际定义域转成图象限制。指定区间的单调性与值域，都由允许输入到轴的距离决定，不能机械复制端点括号。

一、知识点概念与依据

1. 先认实际系数、次数与定义域

二次函数 $f(x)=ax^2+bx+c$ 的 $a,b,c$ 是实常数， $a\ne0$ 。 $a=0$ 时降为一次或常数函数，不能继续除以 $a$ 配方。若实际一次式斜率非零，按斜率正负判断严格增减；常值在非退化区间不严格增减。

多项式本身允许全部实数，但题设限制区间或实际变量范围后，只保留合法点 $(x,f(x))$ ，不再是整条抛物线。轴是一条直线，顶点是一个点，最值是一个输出，三者不能混写。

零点是使 $f(x)=0$ 的合法实数输入，对应横轴交点 $(x,0)$ 。 $f(0)=c$ 只有在0属于实际域时才是当前图象的纵截距；否则只是多项式延长到0的值。

2. 配方的每个补项都须保持原值

先提出非零 $a$ ，为了将括号中一次项配成平方，选 $b/(2a)$ ：

\begin{aligned} f(x)&=a\left(x^2+\frac bax\right)+c\\ &=a\left(x^2+\frac bax+\frac{b^2}{4a^2}\right)+c-\frac{b^2}{4a}\\ &=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\frac{4ac-b^2}{4a} =a(x-h)^2+k, \end{aligned}

其中 $h=-b/(2a)$ 、 $k=(4ac-b^2)/(4a)$ 。括号内补的数乘了 $a$ ，外面必须减 $b^2/(4a)$ ，不能只减括号内补项。

$h-d,h+d$ 的平方距离相同，输出相同，所以轴是 $x=h$ ；平方最小0， $a>0$ 时向上、顶点最低， $a<0$ 时向下、顶点最高。但只有 $h$ 属于原域，当前函数才能取得顶点输出 $k$ 。

3. 平方差证明两侧严格单调

任取不同合法输入 $u<v$ ，

\begin{aligned} f(v)-f(u)&=a[(v-h)^2-(u-h)^2]\\ &=a[(v-h)-(u-h)][(v-h)+(u-h)]\\ &=a(v-u)(u+v-2h). \end{aligned}

$v-u>0$ 。在左侧 $u<v\le h$ 时 $u+v-2h<0$ ，右侧 $h\le u<v$ 时该因子正。因此 $a>0$ 左减右增， $a<0$ 左增右减，无需导数。

即使一个输入是轴，另一个不同输入仍使上述符号严格，所以顶点可以作最大单调区间的端点。不能因为某一点“变化速度为零”就删掉它，也不能只检两个样点来证明整段单调。

4. 指定区间只需落在一侧，不要求是最大区间

设实际指定有限区间的两边界为 $L<U$ ，开闭可任意。整段在轴右侧要求 $h\le L$ ，整段在轴左侧要求 $h\ge U$ 。于是：

首项符号	指定区间严格增	指定区间严格减
$a>0$	$h\le L$	$h\ge U$
$a<0$	$h\ge U$	$h\le L$

开闭端点不改变这些轴位置条件。半无界区间同理，必须整体落在所需一侧。若轴进入不允许的方向，就可在指定区间选两个落在反向单调侧的输入，反驳全称要求。

例如向上开口要求在 $(L,+\infty)$ 增： $h=L$ 时所有允许输入都严格在轴右侧，仍增； $h<L$ 也增；若 $h>L$ ，在 $(L,h)$ 可选两点，那里减，所以失败。因此不能见开端点就强求 $h<L$ ，更不能强令 $h=L$ 。

5. 实根、系数与图象信息相互核对

有两个实根 $r_1,r_2$ 时，因式展开为

a(x-r_1)(x-r_2)=ax^2-a(r_1+r_2)x+ar_1r_2.

所以根和 $-b/a$ 、根积 $c/a$ ，轴是 $(r_1+r_2)/2$ 。只有确有实根时，才把这些数当作横轴交点。若 $ac<0$ ，先由 $\Delta=b^2-4ac>b^2\ge0$ 证明两不同实根存在，再由 $c/a<0$ 说明一正一负。

两实根为 $-5,3$ 且首项正时，轴为 $-1$ ，最大减区间 $(-\infty,-1]$ 。 $[-1,+\infty)$ 是增段； $(-\infty,2]$ 跨轴并含右侧增段，不能整体减； $[2,+\infty)$ 也在增侧。这里顶点收入不妨碍严格性。

6. 跨轴比较同一函数的平方距离

同一个 $f=a(x-h)^2+k$ 中， $f(u)-f(v)=a(\lvert u-h\rvert^2-\lvert v-h\rvert^2)$ 。非负距离不同，平方差与距离差同号，因为距离和正；距离相同则输出相同。于是首项正时远者输出大，首项负时远者输出小。共同常数 $k$ 不影响比较。

等距等价于 $u=v$ 或 $u+v=2h$ ；不同输入同值正可能是关于轴对称，不能强写严格不等式。不同函数的首项、轴和常数可能都不同，不能只比各自到轴的距离。

若同一二次式完整正值解集为 $(-\infty,-1)\cup(3,+\infty)$ ，则 $a>0$ ， $f=a(x+1)(x-3)=a(x-1)^2-4a$ 。4、0、1距轴分别3、1、0，实际输出为 $5a,-3a,-4a$ ，所以 $f(4)>f(0)>f(1)$ ；将后两项倒置、把最大最小反向或认 $f(0)>f(4)$ 都错。此处恢复的是同一个函数；若目标改换系数位置，必须重新计算，不能继承旧轴。

7. 限定区间值域由实际距离范围决定

先查轴是否在原域，按轴分为实际允许段，写非负距离 $d=|x-h|$ 的范围，再平方、乘 $a$ 、加 $k$ ； $a<0$ 时大小方向反转。各允许段的输出最后取并集，不取交集。若域被禁值切开，分段处理；无界时 $\infty$ 不是可取得输出。

完整可达性可反解：距离平方目标 $w\ge0$ 用 $d=\sqrt w$ ，再选择实际那一侧的 $x=h\pm d$ 。对给定输出 $y$ ，若 $(y-k)/a<0$ 无实原像；等于0只有轴；大于0则有两个对称原像 $h\pm\sqrt{(y-k)/a}$ 。

一个外端 $r$ 不允许，不代表它的输出一定不允许，另一个原像 $2h-r$ 可能仍在域内。顶点输出、远端输出能否取到，要给出合法原像；同距两端中至少一个合法，对应界值就合法。

8. 系数换位或图象读参后，重新识别目标

将目标统一写成 $Ax^2+Bx+C$ ，开口由实际 $A$ ，轴为 $-B/(2A)$ ，纵截距为 $C$ ，零点另算。原式是 $cx^2+ax+b$ ，目标是 $ax^2+bx-c$ 时，不能把原首项 $c$ 或原零点照搬。一次项若是 $-bx$ ，实际一次系数为 $-b$ ，轴公式不能漏符号。

完整实数不等式解集可以通过三个二次的关系恢复首项符号与有限零点；若只给限制区间内的一部分解，就不能这样反推全式。由图读参只使用明确开口、直线方向、纵轴交点正负、标注零点与相对位置，不从示意比例编出系数数值。

二、考点方法与例题

方法一：配方后分清三种任务

指定单调区间求轴的位置，跨轴比较求距离，限定值域求实际距离范围及原像。含参先核次数与开口，每个参数边界回代，充分必要条件题用完整参数集合比较包含关系。

方法二：每个图象特征都标出代数来源

先从给定解集或原图得到系数关系，再重认目标系数。开口、轴、纵截距、实根同时核；错误图给决定性冲突，正确图须兼容全部条件，题问“可能”不额外固定未知系数大小。

例题 01 完整抛物线与乘积不等式

题目

已知二次函数 $f\left( x\right)=-{x}^{2}+2x+3$ ．

(1)画出函数 $f\left( x\right)$ 图像，并比较 $f\left( 0\right)$ ， $f\left( 1\right)$ ， $f\left( 3\right)$ 的大小（不需要写画图过程）；

(2)求不等式 $xf\left( x\right)<0$ 的解集．

答案与解析

解析

（1）配方 $f(x)=-(x-1)^2+4$ ，向下，轴 $x=1$ ，顶点 $(1,4)$ 。分解 $f=-(x+1)(x-3)$ ，横轴交点 $(-1,0),(3,0)$ ，代0得纵截距 $(0,3)$ 。原图保留这些关键点：

$f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0$ ，所以 $f(1)>f(0)>f(3)$ 。

（2）方法一：分输入符号。若 $x>0$ ，原乘积负要求 $f(x)<0$ ，与 $x>0$ 取交得 $x>3$ ；若 $x<0$ ，要求 $f(x)>0$ ，与 $x<0$ 取交得 $-1<x<0$ 。 $x=0$ 只给0，不满足。

方法二：因子符号。 $xf(x)<0$ 等价 $x(x+1)(x-3)>0$ 。根 $-1,0,3$ 分四段，符号依次负、正、负、正，因此同得 $(-1,0)\cup(3,+\infty)$ 。三根均使乘积0，严格条件不收。

本题结论

（1） $f(1)>f(0)>f(3)$ ；（2） $(-1,0)\cup(3,+\infty)$ 。

例题 02 跨轴输入的四项比较

题目

已知函数 $f(x)=a{x}^{2}+2ax-3(a>0)$ ，则（）

A． $f(0)>f(1)$ B． $f(-2)>f(4)$ C． $f(-3)>f(1)$ D． $f(-4)>f(1)$

答案与解析

解析

配方 $f(x)=a(x+1)^2-a-3$ ， $a>0$ ，同一个函数的距离越大输出越大。

项	两个输入到轴 $-1$ 的距离	实际关系
A	$1,2$	$f(0)<f(1)$
B	$1,5$	$f(-2)<f(4)$
C	$2,2$	$f(-3)=f(1)$
D	$3,2$	$f(-4)>f(1)$

所以只有 D 正确。C 的两个输入不同却关于轴对称，必须写相等；不能跨轴按横坐标大小直接排序。

本题结论

D。

例题 03 指定开区间上的参数范围

题目

若函数 $f\left( x\right)={x}^{2}+\left( 1+a\right)x+2$ 在区间 $\left( 3,+\infty \right)$ 上单调递增，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A． $\left( -\infty ,7\right]$ B． $\left[ 7,+\infty \right)$ C． $\left[ -7,+\infty \right)$ D． $\left( -\infty ,-7\right]$

答案与解析

解析

开口向上，轴 $h=-(1+a)/2$ 。整个 $(3,+\infty)$ 要递增，须 $h\le3$ ，解得 $a\ge-7$ ，选 C。

充分性： $h\le3$ 时每个允许输入都在轴右侧。必要性：若 $h>3$ ，可在 $(3,h)$ 取两不同输入，该段递减，与全段递增矛盾。 $a=-7$ 时 $f=(x-3)^2-7$ ，所有 $x>3$ 都在轴右侧，严格增，边界允许。

A、D 的范围方向不对，且包括轴进入区间的参数；B 错将界写为7，漏掉合法 $[-7,7)$ 。3不属于输入区间，不等于轴不能恰好在3。

本题结论

C， $[-7,+\infty)$ 。

例题 04 单调条件与参数条件的推出方向

题目

“ $m<-17$ ”是“函数 $f\left( x\right)=-3{x}^{2}+2\left( 1-m\right)x-5$ 在区间 $\left( -\infty ,6\right]$ 上单调递增”的（）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

答案与解析

解析

二次项为 $-3$ ，轴 $h=-2(1-m)/(2\cdot(-3))=(1-m)/3$ ，轴左侧递增。要覆盖 $(-\infty,6]$ ，须 $h\ge6$ ，即 $m\le-17$ 。

轴等于6也允许：任取 $u<v\le6$ ， $u+v-12<0$ ，乘 $-3(v-u)$ 后输出差严格正。若轴小于6，轴右侧至6之间可选一对递减输入，故不合格，完整条件确为 $m\le-17$ 。

原条件 $m<-17$ 推出上述条件，反向却不成立， $m=-17$ 就是具体反例。因此充分不必要，选 B。A 忽略额外允许的端点，C 颠倒方向，D 否定了实际成立的正向推出。

本题结论

B，充分不必要条件。

例题 05 等值条件与开区间图象

题目

已知二次函数 $f(x)=m{x}^{2}+4x+1$ 且满足 $f(-1)=f(3)$ ．

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式；

(2)若函数 $f(x)$ 的定义域为 $\left( -1,2\right)$ ，作出函数 $f(x)$ 图象并求其值域．

答案与解析

解析

（1） $f(-1)=m-3,f(3)=9m+13$ ，相等得 $-8m=16$ ，所以 $m=-2$ ， $f=-2x^2+4x+1=-2(x-1)^2+3$ 。此系数确非零。

（2）限定域 $(-1,2)$ ，原图两外端都空心，内部顶点保留：

左段 $(-1,1]$ 上 $1-x$ 遍历 $[0,2)$ ，其平方遍历 $[0,4)$ ；反向任给 $t\in[0,4)$ ， $x=1-\sqrt t\in(-1,1]$ 可取得。乘 $-2$ 再加3得到整段输出 $(-5,3]$ 。右段 $(1,2)$ 输出 $(1,3)$ ，取并集不增加值。

也可对任意 $y\in(-5,3]$ ，直接取 $x=1-\sqrt{(3-y)/2}\in(-1,1]$ ，代回得 $f(x)=y$ 。所以完整值域 $(-5,3]$ ，最大3在1取得。 $y=-5$ 的两个原像为 $-1,3$ ，都不合法，所以不取； $y=1$ 的两个原像为0、2，虽然2被排除，0合法，所以1仍在值域。不能将输入两端都是开括号机械传给输出。