正态密度与参数：先分清高度、面积和尺度

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钟形图的峰位反映均值，峰高反映标准差，但区间概率始终是面积，单点概率并不是峰高。

知识点

正态是指定的连续模型

记 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，均值 $E(X)=\mu\in\mathbb R$ ，方差 $D(X)=\sigma^2>0$ ，标准差 $\sigma>0$ 。第二参数存的是方差。模型取值范围为整个实轴；有满分、非负或其他自然边界的实际数据只能在合适条件下用它近似，不能把模型范围当实际边界。

密度表达式是拓展，考试可用：

f(x)=\frac1{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right],\quad x\in\mathbb R.

这是指定分布族的定义，不是“图像像钟形”就能推出的定理。整条曲线下面积为1， $P(a<X<b)$ 是相应区间下面积，不是 $f(a),f(b)$ 或 $f(b)-f(a)$ 。密度处处正、两尾延伸；单点横向宽度0， $P(X=x_0)=0$ ，但附近非零宽度区间可有正概率。单点概率0并不足以定义正态，也不是所有连续分布的完整定义。

由标准曲线先以原点为中心横向伸缩 $\sigma$ 、纵向除以 $\sigma$ ，再沿横轴平移 $\mu$ ，即横坐标变为 $x=\mu+\sigma z$ ，面积保持不变。标准前因子 $1/\sqrt{2\pi}$ 使总面积1，其严格积分计算不作为本章课内证明。平方在 $x=\mu$ 最小，故此处唯一峰最高； $\mu\pm t$ 的平方相等，曲线关于 $x=\mu$ 对称，两侧面积各 $1/2$ 。单点概率0使有限端点开闭不改变区间概率。

位置与尺度各控制什么

左图标准差相同，改变均值只平移；右图均值相同，标准差增大，曲线更宽更矮。相同标准化距离 $z=(x-\mu)/\sigma$ 对应横向距离 $|z|\sigma$ ，峰高为 $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ ，所以宽增高减，总面积仍1。

量	图形与数值含义	单位与读取
$\mu$	对称轴与峰横坐标	与 $X$ 同单位，可为任意实数
$\sigma$	横向尺度，越大峰越低	与 $X$ 同单位，须取正根
$\sigma^2$	方差、正态记号第二参数	单位为 $X$ 单位的平方
$f(x)$	密度高度，不是点概率	单位为横轴单位的倒数

正态族的均值方差结论是模型性质，严格连续加权计算需拓展工具。比较峰高须两曲线均为正态密度、刻度与单位一致；固定中心不同宽度可不同方差，相同峰高可不同中心。不同单位先统一，不能跨单位直接用高低比较绝对离散程度。

考点

识别密度要核两处同一个标准差

指数的二次式先配方、约去系数，再读 $(x-\mu)^2$ 。 $(x+u)^2$ 给中心 $-u$ 。
对照分母 $2\sigma^2>0$ ，先得方差再取正标准差。
用这个 $\sigma$ 核前因子必须为 $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ ；两处不一致就不是给定的正态密度。
回写分布并看题问的是标准差还是方差，不能凭外形有指数平方就认定合法。

例题 01 由密度式读参数

题目

设随机变量X服从正态分布，且相应的概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{6\pi }}{e}^{-\frac{{x}^{2}-4x+4}{6}}$ ，则（）

A． $\mu =2,\sigma =3$ B． $\mu =3,\sigma =2$

C． $\mu =2,\sigma =\sqrt{3}$ D． $\mu =3,\sigma =\sqrt{3}$

答案与解析

解析

$x^2-4x+4=(x-2)^2$ ，所以 $\mu=2$ 。指数分母 $6=2\sigma^2$ ，故 $\sigma^2=3,\sigma=\sqrt3$ 。前因子 $1/\sqrt{6\pi}=1/(\sqrt3\sqrt{2\pi})$ 与同一尺度一致，选C。A把方差3当标准差，B、D错认中心。密度峰在2，但 $P(X=2)=0$ 。

本题结论

例题 02 判断四个函数

题目

给出下列函数：① $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{{(x+\mu )}^{2}}{2{\sigma }^{2}}}$ ；② $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{(x-\mu )}^{2}}{4}}$ ；③ $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2\pi }}{e}^{-\frac{{x}^{2}}{4}}$ ；④ $f(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi }}{e}^{-{(x-\mu )}^{2}}$ ，其中 $\mu \in (-\infty ,+\infty )$ ， $\sigma >0$ ，则可以作为正态分布密度函数的个数有（）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

逐项同时核指数和前因子：

式子	指数要求的均值与标准差	前因子是否一致
①	$-\mu,\sigma$	一致， $-\mu$ 仍可为任意实数
②	$\mu,\sqrt2$	不一致，给定前因子少除 $\sqrt2$
③	$0,\sqrt2$	一致
④	$\mu,1/\sqrt2$	一致，前因子为 $1/\sqrt\pi$

因此①③④共3个，选C。不需要临时积分，但不能只检查指数忽略归一前因子。

本题结论

从同坐标系读位置和尺度

先各找峰横坐标比较均值，再比较峰的纵坐标以反向比较标准差，最后合并两条结论。只有非峰点的高度相同不能推出标准差相同，因为到各自中心的距离不同。宽矮是辅助形状证据，图示标注不足时不猜精确值。

例题 03 三条曲线的参数关系

题目

已知三个随机变量的正态密度函数 ${f}_{i}\left( x\right)\left( x\in R,i=1,2,3\right)$ 的图象如图所示，则（）

A． ${\mu }_{1}<{\mu }_{2}={\mu }_{3},{\sigma }_{1}={\sigma }_{2}>{\sigma }_{3}$ B． ${\mu }_{1}>{\mu }_{2}={\mu }_{3},{\sigma }_{1}={\sigma }_{2}<{\sigma }_{3}$

C． ${\mu }_{1}={\mu }_{2}<{\mu }_{3},{\sigma }_{1}<{\sigma }_{2}={\sigma }_{3}$ D． ${\mu }_{1}<{\mu }_{2}={\mu }_{3},{\sigma }_{1}={\sigma }_{2}<{\sigma }_{3}$

答案与解析

解析

图中第1峰在左，第2、3峰共用横坐标，故 $\mu_1<\mu_2=\mu_3$ 。第1、2峰同高，而第3峰较低，利用峰高与正标准差成反比，得 $\sigma_1=\sigma_2<\sigma_3$ ，选D。A反转宽度方向，B反转均值次序，但标准差关系这一部分正确，C错把第1、2峰中心看作相同。

本题结论