向量坐标：把方向关系写成不除零的等式

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直角坐标把向量分成两个垂直方向的分量。线性运算逐分量进行，共线看交叉差，数量积看对应乘积和；求夹角或解释直线方向前，还要检查目标向量是否非零。

一、知识点概念与依据

1. 点坐标与位移坐标不同

在平面直角坐标系中，取x、y轴正方向的单位向量 $\vec i,\vec j$ 。它们不共线，任意向量唯一写成 $\vec a=x\vec i+y\vec j$ ，有序数对(x,y)称为a的坐标。 $\vec i=(1,0),\vec j=(0,1),\vec0=(0,0)$ 。

点A(x,y)表示位置，向量a=(x,y)表示位移。只有起点在原点时，位移坐标才等于终点坐标。横纵分量顺序不可交换，也不能将有序数对错写成两个独立括号相加。

2. 逐坐标加减来自同一基底下合并系数

若 $\vec a=(x_1,y_1),\vec b=(x_2,y_2)$ ，用i、j展开后合并相同基底系数，得到

\vec a\pm\vec b=(x_1\pm x_2,y_1\pm y_2),\qquad \lambda\vec a=(\lambda x_1,\lambda y_1).

点 $A(x_A,y_A),B(x_B,y_B)$ 满足 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$ ，所以

\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A).

“终点减起点”与A是否在原点无关。两向量有公共起点时，各自都要减去该起点坐标，不能只将两个终点坐标相加。

3. 点积和模的简式依赖正交单位基底

i、j为互相垂直的单位向量，故 $\vec i\cdot\vec i=\vec j\cdot\vec j=1$ ， $\vec i\cdot\vec j=\vec j\cdot\vec i=0$ 。将 $(x_1\vec i+y_1\vec j)\cdot(x_2\vec i+y_2\vec j)$ 分配展开，交叉项为0，自身项乘1，于是

\vec a\cdot\vec b=x_1x_2+y_1y_2,\qquad |\vec a|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}.

第二式由自身数量积等于模平方、再取非负平方根得到，也与勾股定理一致。点积结果是数，不是 $(x_1x_2,y_1y_2)$ 这个数对。

逐分量线性运算适用于任意固定基底的系数；上面这两个点积、模简式却要求正交单位基底。若两单位基底夹角60°，它们的数量积为1/2，不能直接把系数当普通直角坐标，交叉项必须保留。

4. 共线用交叉差，垂直用乘积和

设 $\vec u=(x_1,y_1),\vec v=(x_2,y_2)$ ：

目标	坐标判据	附加检查
向量相等	两个对应分量分别相等	使用同一坐标系
共线	$x_1y_2-x_2y_1=0$	包括反向及零向量的约定情形
点积为零	$x_1x_2+y_1y_2=0$	要解释为直角夹角，两者均须非零
求夹角	点积除以两个模之积	模均正，所得余弦在 $[-1,1]$

共线判据的必要性来自 $\vec u=t\vec v$ 消去t。充分性不能只靠直接除坐标：若v非零，分两种情况。

$x_2\ne0$ 时，取 $t=x_1/x_2$ ，交叉差为零推出 $y_1=ty_2$ 。
$x_2=0$ 时，必有 $y_2\ne0$ ，交叉差推出 $x_1=0$ ；取 $t=y_1/y_2$ 同样得 $\vec u=t\vec v$ 。

若v为零，交叉差本就为0，与零向量和任意向量共线的规定一致。不能拿零向量作真实直线的方向向量或平面基底；明确要求非零的题目须另筛，而不是用除法悄悄丢根。

5. 求角要针对真正的目标向量

当u、v均非零时，

\cos\theta=\frac{x_1x_2+y_1y_2} {\sqrt{x_1^2+y_1^2}\sqrt{x_2^2+y_2^2}},\qquad0\le\theta\le\pi.

必须先算目标组合向量，再同时使用它们的点积和模。原来的两向量垂直，不代表两个新组合也垂直；负余弦不一定反向，只有余弦为−1才反向。

若有一个目标向量为零，点积仍为0，但夹角不定义。有些题采用“点积为零即垂直”的代数约定，零向量可满足该约定；这仍不意味着它有90°夹角。涉及两条几何直线垂直时，方向向量必须非零。

6. 动点范围先转成参数区间

自行建系先指定原点、两轴及正向，尽量沿固定垂直边。动点在闭线段上对应闭区间，在不含端点的部分上则按条件保留开端点。

目标为数量积，直接用分量乘积和；目标为模，先求模平方，最后开非负平方根。二次目标先配方检查顶点是否可取，再比较端点，不能直接套整个实数轴上的值域。若要完整范围，还须说明中间值可取，例如参数连续走过区间、目标函数连续。

二、考点方法与例题

1. 先把点变为位移，再运算

按“终点减起点”分别计算各位移，之后逐分量相加减。向量坐标不是任意终点的点坐标，公共起点也不能遗漏两次减法。

例题 01 共同起点的两个位移相加

题目

已知 $A(3,5)$ ， $B(1,-2)$ ， $C(2,1)$ ,则 $\vec{AB}+\vec{AC}=$ （）

A． $(3,11)$ B． $(-3,-11)$

C． $(9,9)$ D． $(-9,-9)$

答案与解析

解析

$\overrightarrow{AB}=(1-3,-2-5)=(-2,-7)$ ， $\overrightarrow{AC}=(2-3,1-5)=(-1,-4)$ ，所以

\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(-3,-11).

选B。A为整体反向，C、D也不是所求结果。直接把B、C坐标相加会漏减两次A；这是点坐标与位移坐标的区别。

本题结论

选B， $(-3,-11)$ 。

2. 不同关系分别列式，组合向量先算分量

明确所求对象，先计算组合向量坐标。
相等比较对应分量，共线用交叉差，垂直用点积，不能混用两种判据。
保留方程全部实根，再代回检查零向量、原范围与方向。
求夹角时核非零，再用余弦公式在 $[0,\pi]$ 内定角。

例题 02 先求参数再求组合夹角

题目

已知向量 $\vec{a}=\left( -1,2\right)$ ， $\vec{b}=\left( 1,k\right)$ ，若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则 $\vec{a}+2\vec{b}$ 与 $2\vec{b}$ 的夹角为（）

A．45° B．135° C．30° D．60°

答案与解析

解析

由 $\vec a\cdot\vec b=-1+2k=0$ 得 $k=1/2$ 。真正目标是

\vec u=\vec a+2\vec b=(1,3),\qquad\vec v=2\vec b=(2,1).

两模平方为10和5，均非零，点积 $\vec u\cdot\vec v=2+3=5$ 。因此

\cos\theta=\frac5{\sqrt{10}\sqrt5}=\frac{\sqrt2}2,

在夹角范围内θ=45°，选A。B对应负余弦，C、D的余弦分别为 $\sqrt3/2,1/2$ ，与所得不符。原a与b垂直只用于求k，不能替代新组合的夹角计算。

本题结论

选A，夹角45°。

例题 03 组合向量的共线参数

题目

已知向量 $\vec{a}=(1,2),\vec{b}=(2,-2),\vec{c}=({m}^{2},\frac{1}{2})$ ，若 ${c}^{\to }//(2{a}^{\to }+{b}^{\to })$ ，则实数 $m=$ （）

A． $\pm \frac{1}{2}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\pm 1$ D．1

答案与解析

解析

$2\vec a+\vec b=(4,2)$ 为非零向量，c的纵分量固定1/2，也非零。共线交叉差为

2m^2-4\cdot\frac12=0,

所以 $m^2=1,m=\pm1$ ，选C。A的根模为1/2，不满足方程；B、D只给单根，均不是完整解集。两个参数都产生同一个坐标c=(1,1/2)，不能因为参数为负就排除。

本题结论

选C， $m=\pm1$ 。

例题 04 交叉差避免分量除零

题目

已知 $\vec{a}=\left( 1,-2\right)$ ， $\vec{b}=\left( \lambda ,1\right)$ ， $\vec{c}=\left( -2,3\right)$ .

(1)若 $\vec{a}\perp \vec{b}$ ，求λ的值；

(2)当k为何值时， $\left( \vec{a}+2\vec{c}\right)\parallel \left( k\vec{a}-\vec{c}\right)$ ？

答案与解析

解析

（1）由点积 $\lambda-2=0$ 得 $\lambda=2$ ，a、b均非零，确实有直角夹角。

（2）先算 $\vec u=\vec a+2\vec c=(-3,4)$ 、 $\vec v=k\vec a-\vec c=(k+2,-2k-3)$ 。共线要求

(-3)(-2k-3)-4(k+2)=0,

即 $6k+9-4k-8=2k+1=0$ ，故 $k=-1/2$ 。代回 $\vec v=(3/2,-2)=-\vec u/2$ ，两者非零、反向共线，符合条件。

若直接写坐标比例，就需另查分母为0的 $k=-2,-3/2$ 。它们本题分别给v=(0,1)、(1/2,0)，与u的交叉差分别为−3、−2，确实不共线；但不能仅因分式写不出就默认排除。交叉差一次覆盖这些情形。

本题结论

（1） $\lambda=2$ ；（2） $k=-1/2$ 。

例题 05 组合向量的平行与垂直

题目

已知向量 $\vec{a}=\left( -2,3\right),\vec{b}=\left( k,2-k\right)$ ．

(1)若 $\vec{a}//\vec{b}$ ，求实数 $k$ 的值；

(2)若 $\vec{a}+2\vec{b}$ 与 $2\vec{a}-\vec{b}$ 垂直，求实数 $k$ 的值．

答案与解析

解析

（1）共线交叉差为 $(-2)(2-k)-3k=-4-k$ ，令其为0，得 $k=-4$ 。代回b=(−4,6)=2a，确实非零共线。

（2）令 $\vec u=\vec a+2\vec b=(2k-2,7-2k)$ ， $\vec v=2\vec a-\vec b=(-4-k,4+k)$ 。点积为零给

(2k-2)(-4-k)+(7-2k)(4+k)=-4k^2-7k+36=0,

即 $(k+4)(4k-9)=0$ ，候选为−4与9/4。代回检查：

k	u	v	几何含义
$-4$	$(-10,15)$	$(0,0)$	点积为0，但v无确定方向，夹角不定义
$9/4$	$(5/2,5/2)$	$(-25/4,25/4)$	两者均非零，点积为0，确有直角夹角

题目未明说零向量的垂直约定。按“点积为零”的代数约定，两根均保留；若要求两个非零方向的90°夹角，只能保留9/4。不能将k=−4时的未定义夹角写成90°。

本题结论

（1） $k=-4$ ；（2）按点积为零的代数垂直约定， $k=-4$ 或 $9/4$ ；若要求确定的直角夹角，仅 $k=9/4$ 。

3. 用线段参数求数量积范围

沿固定互相垂直的边建系，将分点坐标和动点区间写清，再列目标的二次式。顶点与端点必须都在同一个几何允许区间内讨论，最后说明区间中间值能否取到。

例题 06 直角梯形中的动点范围

题目

在直角梯形 $ABCD$ 中，已知 $AB//CD$ ， $\angle DAB={90}^{∘}$ ， $AB=2AD=2CD=6$ ，点 $F$ 是 $BC$ 边靠近 $B$ 点的三等分点，点 $E$ 是 $CD$ 边上一个动点．则 $\vec{EA}\cdot \vec{EF}$ 的取值范围是（）

A． $\left[ -\frac{1}{2},0\right]$ B． $\left[ 0,3\right]$ C． $\left[ -\frac{1}{4},0\right]$ D． $\left[ -\frac{1}{4},6\right]$

答案与解析

解析

x轴正向沿AB，y轴正向沿AD。

由 $AB=2AD=2CD=6$ ，得 $AB=6,AD=CD=3$ 。建系后 $A=(0,0),B=(6,0),D=(0,3),C=(3,3)$ 。

F靠近B的三等分点满足 $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}/3$ ，因此 $F=B+(C-B)/3=(5,1)$ 。E在CD上，可设 $E=(x,3),x\in[0,3]$ 。于是

\overrightarrow{EA}=(-x,-3),\qquad\overrightarrow{EF}=(5-x,-2),

\overrightarrow{EA}\cdot\overrightarrow{EF} =-x(5-x)+6=x^2-5x+6=\left(x-\frac52\right)^2-\frac14.

顶点x=5/2在区间内，最小值−1/4；端点x=0给6，x=3给0，最大值6。函数连续，参数遍历整个闭区间，所以中间值都可取，范围 $[-1/4,6]$ ，选D。

A下界和上界均不符；B漏负值且上界不足；C漏掉可取的最大值6。F是靠B的三等分点，不能误取靠C的另一个点。

本题结论

选D，范围 $[-1/4,6]$ 。