基本公式、四则与链式求导

约 4463 字大约 15 分钟

先认出谁是变量、谁是常数，再按最外层结构选法则。公式的定义域、有限可导条件和内层因子，都与结果同样重要。先修见差商与导数定义。

一、知识点概念与依据

1. 基本公式连同合法范围使用

以下均对 $x$ 求导， $c,a,\alpha$ 为固定数。三角函数的自变量用弧度。

函数	导函数	适用条件
$c$	$0$	与 $x$ 无关
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	有理数 $\alpha\ne0$ ， $x>0$ 总可用；负数及0另核
$\sin x$ 、 $\cos x$	$\cos x$ 、 $-\sin x$	实数域，弧度制
$a^x$	$a^x\ln a$	$a>0$ 固定；教材指数函数通常 $a\ne1$
$e^x$	$e^x$	$e$ 为自然对数的底
$\log_a x$	$1/(x\ln a)$	$x>0,\ a>0,\ a\ne1$
$\ln x$	$1/x$	$x>0$

$\alpha=0$ 时按定义域上的常函数1处理； $a=1$ 时也是常函数1，导数0。幂函数固定指数，指数函数固定底数，不能交换公式。 $\ln2,e^3,\cos3$ 都是常数，不因含有函数符号就随 $x$ 变化。

2. 幂函数公式从差商推得

常数的增量为0。正整数 $n$ 用二项式展开： $(x+h)^n-x^n$ 的首项为 $nx^{n-1}h$ ，其余项含至少 $h^2$ ；除非零 $h$ 后取极限，得 $nx^{n-1}$ 。

对于 $x>0$ 上的 $q$ 次根， $q\ge2$ 为整数，令 $u=(x+h)^{1/q},v=x^{1/q}$ 。正根连续可由严格递增的 $q$ 次幂夹逼看出：固定任意小正数 $\varepsilon<v$ ，当 $x+h$ 介于 $(v-\varepsilon)^q$ 与 $(v+\varepsilon)^q$ ，正根必介于 $v-\varepsilon$ 与 $v+\varepsilon$ ，所以 $u\to v$ 。再由幂差分解，

\frac{u-v}{h}=\frac1{u^{q-1}+u^{q-2}v+\cdots+v^{q-1}} \longrightarrow\frac1{qv^{q-1}}.

正整数 $m$ 时再分解 $u^m-v^m$ ，得导数 $(m/q)x^{m/q-1}$ 。负整数 $m$ 先求相应正幂的倒数，用 $1/A-1/B=-(A-B)/(AB)$ 取差商得到同一式； $q=1$ 回到整数幂和倒数差。

约分后分母为奇数的有理幂，在负数处可用实奇次根同样处理。0处必须单查：负幂无定义，非整数幂可能只有单侧或差商无限，不能把0的负幂硬算为0。正半轴公式并未自动解决这些边界。

3. 三角、指数与对数公式的依据

弧度制下，单位圆给 $0<h<\pi/2$ 时 $\sin h<h<\tan h$ ，于是 $\cos h<\sin h/h<1$ ，夹逼得 $\sin h/h\to1$ ；负侧用奇偶性得到相同极限。由 $\cos h-1=-2\sin^2(h/2)$ ，又得 $(\cos h-1)/h\to0$ 。加法公式于是给

\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h} =\sin x\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\frac{\sin h}{h}\longrightarrow\cos x.

余弦同理得到 $-\sin x$ 。以“度”为输入时需先换成弧度并乘换算因子，不能照搬公式。

指数、对数的推导采用自然底 $e$ 对应的基础极限

\lim_{h\to0}\frac{e^h-1}{h}=1,\qquad \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}u=1.

这里把两式作为基础结果使用，不把它们冒充已由初等代数证明。 $e^x$ 的差商为 $e^x(e^h-1)/h$ ，故导数仍为 $e^x$ 。对 $a>0,a\ne1$ ，令 $w=h\ln a$ ，

\frac{a^{x+h}-a^x}h=a^x\ln a\frac{e^w-1}{w}\longrightarrow a^x\ln a.

$a=1$ 单独按常函数。对 $x>0$ ，置 $u=h/x$ ，则

\frac{\ln(x+h)-\ln x}{h}=\frac1x\frac{\ln(1+u)}u\longrightarrow\frac1x.

换底 $\log_a x=\ln x/\ln a$ 后乘固定系数，得 $1/(x\ln a)$ 。这些结果只在相应原定义域内使用。

4. 四则法则及分母条件

$u,v$ 在同一点可导时，

(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime},\qquad (uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime},\qquad (cu)^{\prime}=cu^{\prime}.

若另有 $v\ne0$ ，才可使用

\left(\frac uv\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}.

乘积不是导数相乘，商不是导数相除。商的减号作用于整个 $uv^{\prime}$ ，分母必须平方。

推导。记 $u_0=u(x_0),v_0=v(x_0)$ ，增量为 $\Delta u,\Delta v$ 。和差的增量为 $\Delta u\pm\Delta v$ ，除 $h\ne0$ 取极限即得法则。乘积加减同一中间项：

\frac{u(x_0+h)v(x_0+h)-u_0v_0}{h} =u(x_0+h)\frac{\Delta v}{h}+v_0\frac{\Delta u}{h}.

可导保证连续，故第一因子趋 $u_0$ ，两差商分别趋相应导数，得到两项。固定常数的导数0，便得常数倍法则。

商先通分：

\frac{u(x_0+h)/v(x_0+h)-u_0/v_0}{h} =\frac{v_0\Delta u/h-u_0\Delta v/h}{v(x_0+h)v_0}.

$v_0\ne0$ 且 $v$ 连续，充分小 $h$ 时可令 $\lvert v(x_0+h)-v_0\rvert<\lvert v_0\rvert/2$ ，于是 $\lvert v(x_0+h)\rvert>\lvert v_0\rvert/2$ ，邻近分母也非零。分母极限 $v_0^2\ne0$ ，按商极限得公式。这同时解释了平方和非零条件的来源。

5. 链式法则不能盲除内层增量

若内层 $u$ 在 $x_0$ 可导，外层 $F$ 在 $u_0=u(x_0)$ 可导，且附近内层输入都在外层合法范围，则

[F(u(x))]^{\prime}=F^{\prime}(u(x))u^{\prime}(x).

外层先对自己的输入求导，再乘输入对 $x$ 的导数。它与两个函数直接相乘的乘积法则不同，多层复合须逐层乘全部因子。

不能无条件写 $\Delta y/\Delta u$ 乘 $\Delta u/h$ ，因为非零 $h$ 也可能对应 $\Delta u=0$ 。严谨做法是对非零 $v$ 设

\varepsilon(v)=\frac{F(u_0+v)-F(u_0)}v-F^{\prime}(u_0),\qquad\varepsilon(0)=0.

由外层可导， $\varepsilon(v)\to0$ ，而所有合法 $v$ ，包括0，都满足

F(u_0+v)-F(u_0)=[F^{\prime}(u_0)+\varepsilon(v)]v.

令 $v=\Delta u$ 。内层可导保证连续，故 $\Delta u\to0$ ；除非零 $h$ ，

\frac{F(u(x_0+h))-F(u_0)}h =[F^{\prime}(u_0)+\varepsilon(\Delta u)]\frac{\Delta u}{h} \longrightarrow F^{\prime}(u_0)u^{\prime}(x_0).

即使某些 $h$ 使 $\Delta u=0$ ，两边同为0，没有除零。条件是公式可用的充分条件，不反推整体可导时每一层都必须可导。

二、考点方法与例题

方法一：定义域、结构、逐层、回验

先列原定义域：分母非零、对数真数正、根式条件。指定点先验合法。
看最外层是和差、乘积、商还是复合；明确对哪个变量求导，固定参数和定点导数值当常数。
四则运算先写 $u,v$ 及各自导数，再代完整法则；复合先求外层对内层的导数，再乘内层因子，不漏倍率、负号和中间层。
完成求导后再合并约分，保留原排除点。若在特定点求值，再代点；不能以单点碰巧相等证明整条求导公式正确。

外层结构	必查项
乘积	两个变化来源都保留
商	次序、减号、分母平方、原分母非零
复合	外层实际输入处可导，内层可导，所有内层因子
平方根与对数	普通根式导数要求内层正；对数原式也要求真数正

方法二：只求定点导数，先抽出零因子

若多因子乘积可写成 $f(x)=(x-a)g(x)$ ，且 $g$ 在 $a$ 可导，则 $f^{\prime}(x)=g(x)+(x-a)g^{\prime}(x)$ ，代点得 $f^{\prime}(a)=g(a)$ 。这免去整体展开，却不是先把 $f(a)=0$ 代成常数再求导。

例题 01 定点导数作为未知常数

题目

已知函数 $f\left( x\right)={e}^{x}-{f}^{\prime}\left( 1\right)x$ ，则（）

A． $f\left( 1\right)=-\frac{e}{2}$ B． ${f}^{\prime}\left( 1\right)=-\frac{e}{2}$

C． $f\left( 2\right)={e}^{2}-e$ D． ${f}^{\prime}\left( 2\right)={e}^{2}-e$

答案与解析

解析

记 $C=f^{\prime}(1)$ ，它对 $x$ 固定。由 $f(x)=e^x-Cx$ 得 $f^{\prime}(x)=e^x-C$ 。代1有 $C=e-C$ ，故 $C=e/2$ 。

原函数为 $e^x-ex/2$ ，导函数为 $e^x-e/2$ ；于是 $f(1)=e/2$ ， $f(2)=e^2-e$ ， $f^{\prime}(2)=e^2-e/2$ 。A、B符号错，D把函数值与导数值混同，只有C正确。

本题结论

C。

例题 02 常数、内层与换底系数各自检查

题目

下列导数运算正确的是（）

A． ${\left( \cos 3\right)}^{\prime}=-\sin 3$ B． ${\left( {e}^{3x}\right)}^{\prime}={e}^{3x}$

C． ${\left( \frac{1}{x}\right)}^{\prime}=-\frac{1}{{x}^{2}}$ D． ${\left( {\log }_{2}x\right)}^{\prime}=\frac{1}{x}$

答案与解析

解析

A中 $\cos3$ 与 $x$ 无关，导数0。B中内层 $3x$ 导数3，结果 $3e^{3x}$ 。C在 $x\ne0$ 时由幂指数 $-1$ 得 $-x^{-2}$ ，正确。D要求 $x>0$ ，换底后导数 $1/(x\ln2)$ 。漏内层3与漏固定换底系数是不同错误，故选C。

本题结论

C。

例题 03 商法则与负分数幂

题目

下列导数运算正确的是（）

A． ${\left( \sin x\right)}^{\prime}=-\cos x$ B． ${\left( \frac{{e}^{x}}{x}\right)}^{\prime}=\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}}{{x}^{2}}$

C． ${\left( {2}^{x}\right)}^{\prime}={2}^{x}$ D． ${\left( \frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^{\prime}=-\frac{1}{2\sqrt{x}}$

答案与解析

解析

A应为 $\cos x$ 。B要求 $x\ne0$ ，以 $u=e^x,v=x$ 代商法则得 $(xe^x-e^x)/x^2$ ，正确。C应为 $2^x\ln2$ 。D在 $x>0$ 写成 $x^{-1/2}$ ，导数 $-(1/2)x^{-3/2}$ ，原式漏了指数减1。故选B。

本题结论

B。

例题 04 混合四则与复合，逐项核域

题目

下列求导运算不正确的是（）

A． $({x}^{2}\sin x+1{)}^{\prime}=2x\cos x$ B． $(\sqrt{2x-1}{)}^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}$

C． $[\ln (1-2x){]}^{\prime}=\frac{2}{2x-1}$ D． $(\frac{x}{{e}^{x}}{)}^{\prime}=\frac{1-x}{{e}^{x}}$

答案与解析

解析

A中 $x^2\sin x$ 是乘积，正确导数 $2x\sin x+x^2\cos x$ ，常数1导数0，原项错误。

B原定义域 $x\ge1/2$ ，普通公式只在 $x>1/2$ ：外层 $1/(2\sqrt u)$ 乘内层2，得 $1/\sqrt{2x-1}$ 。端点无有限右导数，不能代入公式。

C要求 $1-2x>0$ ，即 $x<1/2$ ；导数 $(-2)/(1-2x)=2/(2x-1)$ 。D的 $e^x$ 始终非零，商法则给 $(e^x-xe^x)/e^{2x}=(1-x)/e^x$ 。在各自可导范围内，唯一错误项为A。

本题结论

A；B公式不含端点。

例题 05 零因子先抽出，但必须先求导

题目

已知函数 $f\left( x\right)=x\left( x-1\right)\left( x-2\right)\left( x-3\right)\left( x-4\right)\left( x-5\right)$ ，求 ${f}^{\prime}\left( 2\right)=$ （）

A．0 B． $-12$ C． $-120$ D．120

答案与解析

解析

令 $g(x)=x(x-1)(x-3)(x-4)(x-5)$ ，则 $f=(x-2)g$ 。求导再代2，得

f^{\prime}(2)=g(2)=2\cdot1\cdot(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)=-12.

选B。 $f(2)=0$ 不是 $f^{\prime}(2)=0$ ；乘积法则中零因子求导的那一项仍存在。

本题结论

B， $f^{\prime}(2)=-12$ 。

例题 06 四则与复合求导的逐项辨析

题目

下列求导不正确的是（）

A． ${\left[ {(3x+5)}^{3}\right]}^{\prime}=9{(3x+5)}^{2}$ B． ${\left( {e}^{2}\right)}^{\prime}=0$

C． ${\left( \frac{2\sin x}{{x}^{2}}\right)}^{\prime}=\frac{2x\cos x+4\sin x}{{x}^{3}}$ D． ${\left( {2}^{x}+\cos x\right)}^{\prime}={2}^{x}\ln 2-\sin x$

答案与解析

解析

A由外层三次幂导数乘内层3，得 $9(3x+5)^2$ 。B的 $e^2$ 固定，导数0。C在 $x\ne0$ 时，

\left(\frac{2\sin x}{x^2}\right)^{\prime}=\frac{2x^2\cos x-4x\sin x}{x^4}=\frac{2x\cos x-4\sin x}{x^3}.

约去的 $x$ 非零，原限制仍保留；原选项把减号写成加号。D按和法则为 $2^x\ln2-\sin x$ ，正确。故选C。

本题结论

C。

例题 07 导数简式不能改变原函数定义域

题目

已知 $f(x)=\ln (-2x)$ ，则 $f(x)$ 在点 $\left( {x}_{0},f\left( {x}_{0}\right)\right)$ 处切线的斜率为（）

A． $\frac{-1}{2{x}_{0}}$ B． $\frac{-1}{{x}_{0}}$ C． $\frac{-1}{{x}_{0}^{2}}$ D． $\frac{1}{{x}_{0}}$

答案与解析

解析

$-2x>0$ 给 $x<0$ ，所以切点也必须 $x_0<0$ 。令 $u=-2x$ ，外层导数 $1/u$ 乘内层 $-2$ ，得 $f^{\prime}(x)=1/x$ 。点导数即有限切线斜率 $1/x_0$ ，选D。式子虽与 $\ln x$ 的导数相同，允许的原函数横坐标却不同。

本题结论

D， $k=1/x_0$ ，且 $x_0<0$ 。

例题 08 基本公式的负号与定义域

题目

下列求导运算结果错误的是（）

A． ${\left( \frac{1}{x}\right)}^{\prime}=\frac{1}{{x}^{2}}$ B． ${\left( \ln x\right)}^{\prime}=\frac{1}{x}$

C． ${\left( {e}^{x}\right)}^{\prime}={e}^{x}$ D． ${\left( \sin x\right)}^{\prime}=\cos x$

答案与解析

解析

A在 $x\ne0$ 时， $1/x=x^{-1}$ ，导数为 $-x^{-2}=-1/x^2$ ，原项丢负号，因此错误。

B在 $x>0$ 时 $\ln x$ 的导数为 $1/x$ ，正确；C在全实轴 $e^x$ 的导数仍为 $e^x$ ，正确；D按弧度制， $\sin x$ 的导数为 $\cos x$ ，正确。指数减1与原指数系数是两步，负系数不能消失。

本题结论

A。

例题 09 固定常数与固定指数的区别

题目

下列求导运算正确的是（）

A． ${\left( \ln 2\right)}^{\prime}=\frac{1}{2}$ B． ${\left( {e}^{3}\right)}^{\prime}=3e$

C． ${\left( {a}^{x}\right)}^{\prime}=x\cdot {a}^{x-1}$ D． ${\left( \cos x\right)}^{\prime}=-\sin x$

答案与解析

解析

这里均对变量 $x$ 求导。A的 $\ln2$ 、B的 $e^3$ 都是固定常数，导数均为0，所以两项错误。

C的 $a$ 为固定底数，按实数指数函数需 $a>0$ ，教材通常另取 $a\ne1$ ，此时导数是 $a^x\ln a$ ，不是 $xa^{x-1}$ 。原题未另外写底数条件，此处明确采用该教材背景； $a=1$ 单列常函数，导数仍为0。固定指数的 $x^a$ 才用幂函数公式，不能互换。

D按弧度制为 $-\sin x$ ，正确，故选D。

本题结论

D。