直线交点数、相切与同支判定

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先看消元次数，再判根数和根的位置；一个公共点不必是切点。

一、知识点理解概念

1. 一点交截与相切是两回事

直线与双曲线公共点同时满足两方程，有限点数可为 $0,1,2$ 。一个有限点可能来自二次重根，也可能来自消元降为一次；只有前一种才是这里的切点。平行但不重合于渐近线的直线有一点而非切线；渐近线本身无点。

2. 消元先看次数

横轴型 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ ， $a,b>0$ ，非竖直有效线 $y=kx+m$ ，代入并同乘 $a^2b^2$ ：

Ax^2+Bx+C=0,\quad A=b^2-a^2k^2,\quad B=-2a^2km,\quad C=-a^2(m^2+b^2).

仅当 $A\ne0$ 才按

\Delta=B^2-4AC=4a^2b^2(m^2+b^2-a^2k^2)

判二次根数：正为两不同点，零为重根切点，负为无点。各横坐标由线唯一确定纵坐标，根数即公共点数。

3. 渐近平行方向要另开分支

$A=0$ 恰 $k=\pm b/a$ 。若 $m\ne0$ ，因 $k\ne0$ 而 $B\ne0$ ，一次式 $Bx+C=0$ 给一个点，直线与渐近线平行但不同；若 $m=0$ ， $B=0,C=-a^2b^2\ne0$ ，剩常数矛盾，正是渐近线本身无点。不能对这两类沿用二次判别式。

4. 根数之后才检查支

横轴型真实点 $|x|\ge a$ ，所以横坐标非零。在 $A\ne0,\Delta>0$ 后：两点同右支等价根和正且根积正；同左支等价和负且积正；两支各一等价积负。只看和正不排除一正一负。

纵轴型交换坐标，用纵坐标判断上下支。若消元求的是纵根却要判左右支，必须重构横坐标或其和积，不能直接拿纵根正负代替。

5. 竖直与水平线直接代

横轴型的竖直线 $x=h$ 给 $y^2=b^2(h^2/a^2-1)$ ： $|h|>a$ 两不同点且同支， $|h|=a$ 在顶点相切， $|h|<a$ 无点。竖直线无有限斜率，不塞进 $y=kx+m$ 。

水平线 $y=h$ 给 $x=\pm a\sqrt{1+h^2/b^2}$ ，总在两支各一点。纵轴型先换两坐标再应用。

二、考点方法与例题

1. 求参按次数、根数、根位置取交并

先核曲线参数与有效直线；分 $A=0$ 与 $A\ne0$ ，再判根数。唯一公共点必须并入“一次解”和“二次重根”；无点也要检查常数矛盾，不能只写 $\Delta<0$ 。

含同支条件则与根位置、原参数范围取交集。充分必要题先求完整合法集合，再比较是否包含、真包含或相等；一个符合例子不能证明充要。

例题 01 一条过原点的直线与纵轴型双曲线

直线 $3x-4y=0$ 与双曲线 $\frac{{y}^{2}}{9}-\frac{{x}^{2}}{16}=1$ 的交点个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案与解析

方法一：由直线得 $y=3x/4$ ，代曲线左侧为 $(3x/4)^2/9-x^2/16=0$ ，要求 $0=1$ ，矛盾，故公共点数为 0，选A。

方法二：该双曲线渐近线为 $3x\pm4y=0$ ，题线恰为其中一条，故无交点。此时消元不仅二次项为零，一次项也为零；B/C/D 均不是实际点数，不能把渐近线本身当不同平行线。

例题 02 给定斜截式的直线与双曲线

直线 $y=\frac{3}{2}x+2$ 与双曲线 $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$ 的位置关系是（　　）

A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定

答案与解析

代 $y=3x/2+2$ ，得 $x^2/4-[x^2/4+(2/3)x+4/9]=1$ ，即 $6x=-13$ 。所以唯一点为 $(-13/6,-5/4)$ ，回代 $169/144-25/144=1$ 。

直线平行但不重合于渐近线 $y=3x/2$ ，消元是一次，不是二次重根，故为非切线的一点交截。原选项 B“相交”采用“存在交点”的广义口径，选 B；不是A相切，不是C相离，也非D无法确定。

上传知识库已指出该用词与把两点交截、相切、相离分列的口径不同。保留原题与答案，用真实点数和是否切线描述，不静默把 B 改成 A。

例题 03 唯一公共点的充分必要条件

已知直线 $l:y=k\left( x-1\right)$ ，“ $k=\frac{2}{3}$ 或 $k=-\frac{2}{3}$ ”是“直线 $l$ 与双曲线 $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$ 有且仅有一个公共点”的（）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案与解析

联立消元取原解的整体反号形式：

(9k^2-4)x^2-18k^2x+9k^2+36=0.

若 $k^2=4/9$ ，退为 $-8x+40=0$ ，唯一点 $x=5,y=\pm8/3$ ，原曲线 $25/9-16/9=1$ 。这两线非切线。

若 $k^2\ne4/9$ ，判别式 $324k^4-4(9k^2-4)(9k^2+36)=576-1152k^2$ 。唯一点来自重根，须 $k^2=1/2$ ，此时最高次系数 $1/2\ne0$ ，切点 $x=9,y=\pm4\sqrt2$ ，回代 $9-8=1$ 。

完整集合为 $\{-\sqrt2/2,-2/3,2/3,\sqrt2/2\}$ 。题给两值集合是其真子集，充分而不必要，选 A；B 颠倒包含方向，C 忽略另外两值，D 否认已成立的充分性。

例题 04 无公共点的斜率范围

如果直线 $y=kx-1$ 与双曲线 ${x}^{2}-{y}^{2}=4$ 没有公共点， $k$ 的取值范围为（）

A． $-\frac{\sqrt{5}}{4}<k<\frac{\sqrt{5}}{4}$ B． $k<-\frac{\sqrt{5}}{2}$ 或 $k>\frac{\sqrt{5}}{2}$

C． $-\frac{\sqrt{5}}{2}<k<\frac{\sqrt{5}}{2}$ D． $k\le -\frac{\sqrt{5}}{4}$ 或 $k\ge \frac{\sqrt{5}}{4}$

答案与解析

联立得 $(1-k^2)x^2+2kx-5=0$ 。先查 $k=\pm1$ ，一次项非零，仍有一个点，不符合无公共点。

$k^2\ne1$ 时， $\Delta=20-16k^2<0$ 给 $|k|>\sqrt5/2$ 。该范围本身保证 $|k|>1$ ，确最高次项非零。故选 B。

端点 $|k|=\sqrt5/2$ 是二次重根切线，有点须排除；A/C/D 均非这个完整开区间的并集，混淆了根数或界限。