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平面距离、中点与等距参数

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距离是长度，代入值却有方向；先保留符号和尺度，最后再取非负长度。

一、知识点 理解概念

1. 两点距离与中点依赖同单位的直角坐标

在同单位的平面直角坐标系中，A(x1,y1),B(x2,y2)A(x_1,y_1),B(x_2,y_2) 的差向量为 (x2−x1,y2−y1)(x_2-x_1,y_2-y_1)。水平与竖直方向垂直，勾股定理给

AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2.AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.

距离是非负长度，平方和是距离的平方，最后还要开非负平方根。交换起终点同时改变两个差的符号，不改变距离。

若 A≠BA\ne B，中点 MM 满足 AM⃗=MB⃗=12AB⃗\vec{AM}=\vec{MB}=\tfrac12\vec{AB}，所以 M=A+(B−A)/2M=A+(B-A)/2，逐坐标为

M(x1+x22,y1+y22).M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right).

A=BA=B 时距离为零，中点公式仍给这个相同点，不需要构造非零线段。

2. 点线距离来自法向位移的长度

设有效直线 l:Ax+By+C=0l:Ax+By+C=0，A2+B2>0A^2+B^2>0，点 P(x0,y0)P(x_0,y_0)。法向量 n⃗=(A,B)\vec n=(A,B) 与方向 (−B,A)(-B,A) 数量积为零。

令 H=P−tn⃗H=P-t\vec n，要求 HH 在直线上，得到

Ax0+By0+C−t(A2+B2)=0,t=Ax0+By0+CA2+B2.Ax_0+By_0+C-t(A^2+B^2)=0,\qquad t=\frac{Ax_0+By_0+C}{A^2+B^2}.

当 PP 不在线上时，PHPH 沿法向，HH 是垂足；在线上时 t=0,H=Pt=0,H=P，直接给零距离，不给零线段另定义方向。位移长度为 ∣t∣A2+B2|t|\sqrt{A^2+B^2}，故

d(P,l)=∣Ax0+By0+C∣A2+B2.d(P,l)=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

对线上的任意点 QQ，Q−HQ-H 与法向量数量积为零，因此

∣P−Q∣2=∣P−H∣2+∣H−Q∣2≥∣P−H∣2.|P-Q|^2=|P-H|^2+|H-Q|^2\ge |P-H|^2.

这个平方展开即使 P=HP=H 或 Q=HQ=H 也成立，说明垂足给最短距离。分子代入值的正负表示法向定向下的两侧，绝对值把两侧位移变成非负长度。

3. 平行线距离先统一整条方程的尺度

两条不同平行线须先写成同一法向系数

Ax+By+C1=0,Ax+By+C2=0.Ax+By+C_1=0,\qquad Ax+By+C_2=0.

任取第一线上 PP，有 Ax0+By0=−C1Ax_0+By_0=-C_1，代第二线点距式，得

d(l1,l2)=∣C2−C1∣A2+B2.d(l_1,l_2)=\frac{|C_2-C_1|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

结果与所取点无关，正是两线公垂线段长度。常数相同表示重合，此式给零；不同平行线的距离必须正。若两线相交，不能把不同法向的常数差代入这个公式。

整式乘非零实数 kk 时，点距分子与分母都乘 ∣k∣|k|，距离不变。统一法向尺度必须连常数一起缩放，负倍数也要整式同翻符号，不能只改一次项。

二、考点 方法与例题

1. 两点题先列差向量，再开方

坐标按同一方向相减，平方求和后开非负平方根；不要漏括号、错把模平方当模。反向再算一次应得到相同长度。

例题 01 平面中两点的距离

在平面直角坐标系中，点A(3,−2)A\left( 3,-2\right)和点B(−1,1)B\left( -1,1\right)之间的距离为（   ）

A．2 B．3 C．5\sqrt{5} D．5

答案与解析

AB⃗=(−1−3,1−(−2))=(−4,3)\vec{AB}=(-1-3,1-(-2))=(-4,3)，所以 AB2=16+9=25AB^2=16+9=25，AB=5AB=5，选 D。

A、B 不是平方和开根所得的长度；C 的 5\sqrt5 平方是 55，而实际平方和为 2525。若反过来计算，差向量为 (4,−3)(4,-3)，平方和仍为 2525。

2. 点到直线先一般式，再代值、取模、除模

题给斜截式也先移到 Ax+By+C=0Ax+By+C=0。核法向非零，记完整系数及点坐标，计算 s=Ax0+By0+Cs=Ax_0+By_0+C，再用 ∣s∣/A2+B2|s|/\sqrt{A^2+B^2}，不要把带符号的 ss 当作距离。

例题 02 一点到给定直线的距离

点(3,7)\left( 3,7\right)到直线2x−y−3=02x-y-3=0的距离为（   ）

A．1 B．2\sqrt{2} C．222\sqrt{2} D．455\frac{4\sqrt{5}}{5}

答案与解析

A=2,B=−1,C=−3A=2,B=-1,C=-3，法向模为 5\sqrt5。点 (3,7)(3,7) 的代入值是 2⋅3−7−3=−42\cdot3-7-3=-4，因此

d=∣−4∣5=455,d=\frac{|-4|}{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5},

选 D。A、B、C 均不等于此值。负的代入值不是负长度；其符号反映点处在哪一侧。若整式缩放，分子分母同乘缩放数的绝对值，结果不变，不能只缩放其中一项。

3. 两条平行线的常数只能在同尺度下比较

先核两法向平行且各非零，整体缩放一式使 x,yx,y 系数完全相同，再做带符号的常数差，最后取一次绝对值。题称不同平行线时，最后距离须大于零。

例题 03 两条平行直线的间距

已知两条平行直线l1:3x−4y−2=0,l2:6x−8y+3=0{l}_{1}:3x-4y-2=0,{l}_{2}:6x-8y+3=0，则l1{l}_{1}和l2{l}_{2}间的距离为（    ）

A．110\frac{1}{10} B．15\frac{1}{5} C．25\frac{2}{5} D．710\frac{7}{10}

答案与解析

第二线整式除以 22，得到 3x−4y+3/2=03x-4y+3/2=0。它与第一线 3x−4y−2=03x-4y-2=0 的法向同为 (3,−4)(3,-4)，常数不同，所以确为不同平行线。

d=∣−2−3/2∣32+(−4)2=7/25=710,d=\frac{|-2-3/2|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{7/2}{5}=\frac7{10},

选 D。A、B、C 都不是统一尺度后的距离。若直接拿原常数 −2,3-2,3 相减再除以 55，会误得 11；若先取两个常数绝对值再相减，又丢掉相对侧向信息。负倍数统一时也须连常数符号一起改。

4. 等距条件保留同号与异号两支

先写绝对值方程；同一条线给相同且正的分母，可以约去。∣u∣=∣v∣|u|=|v| 等价于 u=vu=v 或 u=−vu=-v，也可等价平方，但最终须保全根并回验。给定正距离的 ∣Ax0+By0+C∣=dA2+B2|Ax_0+By_0+C|=d\sqrt{A^2+B^2} 通常对应两侧，不因示意图画在某一侧就删分支；只有题目明确的侧向范围才可筛选。

例题 04 两点到同一直线等距的参数

若A(−2,−1)A(-2,-1)，B(1,1)B(1,1)两点到直线l:ax−y+1=0l:ax-y+1=0的距离相等，则a=a=（    ）

A．23\frac{2}{3} B．−23-\frac{2}{3} C．2或23\frac{2}{3} D．2或−23-\frac{2}{3}

答案与解析

直线的 yy 系数恒为 −1-1，始终有效；两距离分母同为 a2+1>0\sqrt{a^2+1}>0，可约去。代入两点的分子分别为 ∣2−2a∣|2-2a| 与 ∣a∣|a|，所以

∣2−2a∣=∣a∣  ⟺  2−2a=a 或 2−2a=−a.|2-2a|=|a|\iff 2-2a=a\ \text{或}\ 2-2a=-a.

两支分别给 a=2/3a=2/3 与 a=2a=2。a=2/3a=2/3 时两点代入值同为 2/32/3，同侧等距；a=2a=2 时分别为 −2,2-2,2，异侧也等距。两根都回验成立，选 C。

A 只保留同号支；B 的 −2/3-2/3 不满足原等式；D 把有效的 2/32/3 换成无效负值。去绝对值只写同号一支会漏掉 a=2a=2。

三、坑点 辨析与纠错

1. 距离非负，不代表可以提前丢掉符号

代入值符号区分两侧，先正确代入、做差，最后再取绝对值。把负代入值当负距离，或先把两个常数都取绝对值再相减，都会改变几何意义。等距平方后也不能只留一个根；平方合法的理由是等式两边原本都非负。

2. 整体缩放不能只改变法向量

只缩放 x,yx,y 系数而不缩放常数，通常已经换了另一条直线。先核有效性和方向，整体同乘同除非零数后再比较常数；负数缩放同样如此。两线相交不能套平行距公式，重合的零距也不能混入不同平行的要求。

3. 候选参数要回到原式及原范围

每个候选依次核法向非零、原位置条件、原距离等式与题给侧向范围。最后给非负的精确根式，不把平方和当长度，也不从示意图猜未给的单侧限制。