极值、驻点与逆向参数

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驻点方程只产生候选，局部高低还须回到周围函数值。把点与值、局部与全局分开，再用完整符号表筛选参数，并检查边界与分支。

一、知识点概念与依据

1. 极值是局部比较，驻点是导数条件

本章按定义域内点讨论极值，端点单列作全局最值候选。若内点 $c$ 附近的所有合法输入都满足 $f(x)\le f(c)$ ，称 $f(c)$ 为局部极大值、 $c$ 为极大值点；换成 $\ge$ 是局部极小。若对附近每个 $x\ne c$ 都是严格不等式，就是严格局部极值。

名称	对象及判断范围
极值点 $c$	输入位置，比较它附近的值
极值 $f(c)$	输出数值，须代原函数求
驻点	可导且 $f^{\prime}(c)=0$ 的点，尚未判局部高低
全局最大值或最小值	比较整个允许范围，且必须在合法点实际取得

最大值作为数若存在就唯一，取得它的点可以有多个。不同邻域的极大、极小不应互相排全局高低。

2. 极值为何给驻点，驻点为何不够

设 $c$ 是可导内点，且为局部极大值点。充分小的 $h>0$ 时，差商 $[f(c+h)-f(c)]/h\le0$ ； $h<0$ 时差商 $\ge0$ 。两侧趋于同一个导数，因此只能有 $f^{\prime}(c)=0$ 。极小值反向，同样得到0。

证明需要“内点、可导、局部极值”三项。反向不成立： $f(x)=x^3$ 在0的导数为0，却穿过0继续严格增加，没有局部极值。不可导内点也可能有极值，例如 $\lvert x\rvert$ 在0为严格极小；不应为套用驻点方程而改函数或舍弃不可导点。

3. 左右行为判据及其边界

若 $c$ 处连续，且两侧有长度为正的邻域可用导数判单调，则：

左侧导数	右侧导数	在 $c$ 的结论
正	负	左增右减，严格极大
负	正	左减右增，严格极小
同正或同负	同向延续	不是局部极值

非严格同号但各段无平段，也可用严格单调判据处理。连续性把两侧趋向的高度接到实际点值，不能漏掉。断口没有函数值，不是极值点。

这是常用的充分判定，不是一般局部极值的定义。一般可导函数在极值点附近可能振荡，不能要求每一个局部极值都必有固定的左右导数符号；本章原例的因式分解、连续导数和完整符号表保证所用判断成立。

4. 逆向条件先必要，后充分

已知条件	可以先列的条件	仍须回验
可导内点 $c$ 是极值点	$f^{\prime}(c)=0$	实际局部高低、域与类型
该点极值为 $m$	再加 $f(c)=m$	两式候选可能仍是同号驻点
有极大与极小两个极值	在本章常见光滑代数模型中筛合法不同驻点	每点的左右行为，不能只数实根
全局最大值为 $m$	所有允许值不超过 $m$ 且确有取等点	最大点可能是闭端点，不必导数0

参数可能改变定义域、根次序、最值位置。必要方程会产生域外根、分支外参数、重根或开端点上的伪候选。回验必须由符号、点值或全范围不等式证明，不能再次引用原题假设充当证明。

二、考点方法与例题

方法一：找候选、判局部、代原函数

写实际定义域，列驻点、不可导内点以及用来分段的断口；断口不是候选点。
排出全部分界位置，证明各段导数符号，在每个有值的候选左右判断增减或直接比较函数值。
记录极大或极小的类型。题说“极大值点”时，负到正的极小候选必须排除。
把合法极值点代入原函数求输出。若问极值之和，加的是函数值，不是横坐标。

方法二：解参数后再查根与分支

已知点和值，先联立驻点式与点值式。对每组解重新求导，检查原点是否仍在域内、是否局部极值、类型是否相符。

二次式决定导数符号时，两个不同实根还未必是两个合法极值点：先核首项系数非零，再看判别式、根和与根积或显式根位置。正定义域中，根积正只能说明同号，还须根和正；最后每个根左右变号才能用表中判据给出极值。

反求最值则先按参数确定真正取得点，再令其值等于题给数。解出参数后必须返回原分类范围检查；闭端点的最值不应强加驻点方程。

方法三：根写不出来时研究导数的辅助函数

若 $f^{\prime}(x)=h(x)-a$ ，先研究固定的 $h$ ：求导、证明单调支、求关键值以及各支边界趋势。连续支上，端点值分居水平线两侧保证有根，严格单调保证至多一根。边界为无穷远时，应先从趋势选出实际有限端点，再用闭区间的介值性质，不能凭图断言交点。

分类临界值包括根重合、根跨域边界或题给端点、导数主系数退化，以及最值候选的函数值相等。每一类分别判断原函数的单调、局部极值和全局最值。导数仅一点为0而其余同号，往往仍严格单调；实轴上严格递增的函数没有最小值，因为任意输入左侧还有更小的输入及函数值。

例题 01 断口两侧的局部极值

题目

已知函数 $f\left( x\right)=\frac{2x-1}{x-1}{e}^{x}$ ，则（）

A． $f\left( x\right)$ 有极大值，无极小值 B． $f\left( x\right)$ 无极大值，有极小值

C． $f\left( x\right)$ 既有极大值，也有极小值 D． $f\left( x\right)$ 既无极大值，也无极小值

答案与解析

解析

定义域 $x\ne1$ 。先将有理因子写为 $2+1/(x-1)$ ，求导得

f^{\prime}(x)=e^x\left(2+\frac1{x-1}-\frac1{(x-1)^2}\right)=\frac{x(2x-3)e^x}{(x-1)^2}.

正因子 $e^x/(x-1)^2$ 不改符号。按0、1、 $3/2$ 分段：

区间	$(-\infty,0)$	$(0,1)$	$(1,3/2)$	$(3/2,+\infty)$
导数符号	正	负	负	正
原函数	增	减	减	增

故0是极大值点， $f(0)=1$ ； $3/2$ 是极小值点， $f(3/2)=4e^{3/2}$ ，选C。1无函数值，绝不是极值点。这里局部极大值1小于另一处局部极小值 $4e^{3/2}$ ，并不矛盾，因为比较的邻域不同。

本题结论

C，既有极大值也有极小值。

例题 02 先找极值点，再计算极值之和

题目

函数 $f\left( x\right)=\frac{{x}^{2}}{2}-3x+2\ln x$ 的极大值与极小值之和为（）

A． $2\ln 2-6$ B． $\ln 2-\frac{13}{2}$ C． $\ln 2-6$ D． $2\ln 2-\frac{13}{2}$

答案与解析

解析

定义域 $x>0$ ，

f^{\prime}(x)=x-3+\frac2x=\frac{(x-1)(x-2)}x.

$(0,1)$ 、 $(2,+\infty)$ 上正， $(1,2)$ 上负，故1为极大值点，2为极小值点。代原函数： $f(1)=1/2-3=-5/2$ ， $f(2)=2-6+2\ln2=2\ln2-4$ 。两极值之和为 $2\ln2-13/2$ ，选D。 $1+2$ 是两个位置之和，不是题问。

本题结论

D， $2\ln2-13/2$ 。

例题 03 极值点与极值数值联合反求

题目

已知 $f(x)={x}^{3}+3a{x}^{2}+bx+{a}^{2}$ 在 $x=-1$ 处有极值 $0$ ，则 $a-b=$ （）

A． $-2$ 或 $-7$ B． $-4$ 或 $-11$ C． $11$ D． $-7$

答案与解析

解析

多项式在 $-1$ 可导，必要式为

3-6a+b=0,\qquad -1+3a-b+a^2=0.

由 $b=6a-3$ 消元得 $(a-1)(a-2)=0$ ，候选 $(a,b)=(1,3)$ 或 $(2,9)$ 。

候选	导数	在 $-1$ 的实际行为
$(1,3)$	$3(x+1)^2$	左右均正，仅一点为0，严格增，无极值
$(2,9)$	$3(x+1)(x+3)$	左邻负、右邻正，确为极小值点

第二组回代 $f(-1)=0$ ，充分满足。故 $a-b=2-9=-7$ ，选D；第一组即为“驻点不一定是极值点”的题内反例，不能因必要方程通过而保留。

本题结论

D， $a-b=-7$ 。

例题 04 两个极值要求两个合法内根

题目

若函数 $f\left( x\right)=a\ln x+\frac{3}{x}-x$ 既有极大值也有极小值，则实数 $a$ 的取值范围为（）

A． $\left( 0,2\sqrt{3}\right)$ B． $\left( -\infty ,-2\sqrt{3}\right)\cup \left( 2\sqrt{3},+\infty \right)$

C． $\left( -\infty ,-2\sqrt{3}\right)$ D． $\left( 2\sqrt{3},+\infty \right)$

答案与解析

解析

定义域按原对数式为 $x>0$ ，

f^{\prime}(x)=-\frac{x^2-ax+3}{x^2}.

若有极大、极小两个极值，则驻点二次式必须有两个不同正根。条件为

a^2-12>0,\qquad r_1+r_2=a>0,\qquad r_1r_2=3>0,

解得 $a>2\sqrt3$ 。充分性：此时 $0<r_1<r_2$ ，导数在两外侧负、两根间正，因此 $r_1$ 极小、 $r_2$ 极大，确有两个极值，选D。

$a=2\sqrt3$ 为重根，导数只一点为0、其余负，不产生极值； $a<-2\sqrt3$ 虽判别式正，两根却都负，域内没有这些驻点。只列判别式会多出错误负参数支。

本题结论

D， $a>2\sqrt3$ 。

例题 05 用固定辅助函数研究参数判断

题目

若函数 $f(x)=x{e}^{x}-ax$ ，则根据下列说法选出正确答案是（）

① 当 $a\in \left( -\infty ,-{e}^{-2}\right]$ 时， $f(x)$ 在 $x\in R$ 上单调递增；

② 当 $a\in (-{e}^{-2},0)$ 时， $f(x)$ 有两个极值点；

③ 当 $a\in \left( -\infty ,-{e}^{-2}\right]$ 时， $f(x)$ 没有最小值．

A．①② B．②③ C．①③ D．①②③

答案与解析

解析

$f^{\prime}(x)=h(x)-a$ ，其中 $h(x)=(1+x)e^x$ ， $h^{\prime}(x)=(x+2)e^x$ 。所以 $h$ 在 $-2$ 左侧减、右侧增，最小值 $h(-2)=-e^{-2}$ ，且 $h(-1)=0$ 。

还须核左支取值范围。令 $u=-x\to+\infty$ ， $h(-u)=(1-u)e^{-u}<0$ ，并趋0。一个不依赖图象的估计是：对 $t\ge0$ ， $e^t-1-t$ 的导数非负、起始值0，故 $e^t\ge1+t$ ；于是 $e^u=(e^{u/2})^2\ge(1+u/2)^2$ ， $0<(u-1)e^{-u}\le u/(1+u/2)^2\to0$ 。因此左支的值恰为 $(-e^{-2},0)$ ；右支从最小值增至0后继续增。

① $a\le-e^{-2}$ 时 $f^{\prime}\ge0$ ；等号参数也只有 $-2$ 一个零点，无平段，实轴严格增。

② $-e^{-2}<a<0$ 时，连续、严格单调的左右支各与水平线 $h=a$ 交一次，得到 $r_1<-2<r_2<-1$ 。导数依次正、负、正，所以两点分别极大、极小。左侧存在性可先取足够负的有限输入使 $h(x)>a$ ，再与 $h(-2)<a$ 应用介值性质。

③ 在①的参数范围，任意输入左侧均有更小函数值，不可能有最小值。三项都真，选D。不能仅从“导数有两个零点”省去②的左右符号。

本题结论

D，①②③均正确。

例题 06 最大值所在分支必须回验

题目

已知函数 $f\left( x\right)=\frac{x}{a}+\ln x$ ，其中 $a$ 为常数， $e$ 为自然对数的底数．

(1)当 $a=-1$ 时，求 $f\left( x\right)$ 的单调区间；

(2)若 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left( 0,e\right]$ 上的最大值为 $2$ ，求 $a$ 的值．

答案与解析

解析

先排除 $a=0$ ，定义域 $x>0$ ，导数 $(x+a)/(ax)$ 。

（1） $a=-1$ 时导数 $(1-x)/x$ ，在 $(0,1)$ 正、 $(1,+\infty)$ 负，故前者增、后者减。

（2）先判断真正最大值，再列方程：

参数分支	在 $(0,e]$ 的行为与最大值	令最大值等于2后的检验
$a>0$	严格增，最大 $f(e)=e/a+1$	得 $a=e$ ，符合分支
$-e<a<0$	在 $-a$ 前增后减，最大 $-1+\ln(-a)$	得 $a=-e^3$ ，不在分支，排除
$a\le-e$	内部导数正，最大 $f(e)=e/a+1$	得 $a=e$ ，不在分支，排除

$a=-e$ 时仅右端点导数0，仍在最后一类，并非内部极值。最终 $a=e$ ，回代确有最大值2在 $x=e$ 取得。开端点0不在域内，不能代入；本题每个分支的单调性已证明表中取得点优于全部允许值。

本题结论

（1）增 $(0,1)$ ，减 $(1,+\infty)$ ；（2） $a=e$ 。

例题 07 全实轴的最值要分别判断

题目

已知函数 $f\left( x\right)={e}^{x}-ex$ ，则 $f\left( x\right)$ （）

A．有最小值1，无最大值 B．有最大值1，无最小值

C．有最小值0，无最大值 D．有最大值0，无最小值

答案与解析

解析

$f^{\prime}(x)=e^x-e$ ，在 $x<1$ 为负、 $x>1$ 为正。因此全实轴先减后增，最小值 $f(1)=e-e=0$ 。

没有最大值不能只由“没有别的驻点”推出。对任意给定上界 $M$ ，取足够小的负数 $x$ ，则 $-ex>M$ ，而 $f(x)=e^x-ex>-ex>M$ ，所以函数无上界，更无最大值。故选C。这里无需把无穷大当作函数能取到的数。

本题结论

C，有最小值0，无最大值。