两个字母不意味着两个自由选择。先辨别独立变量与关联点，再消元；要找精确范围或最值，还必须证明换元后的候选能够回到原题。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 先问两个点是否独立

两点关系	合适处理	不可省略
独立遍历各自集合	比较双方最不利值	这两个位置能同时选取，边界能否取得
同为极值点	同一驻点方程、和积	两点不同、合法、导数变号
同为零点或同高点	相减消参、比例换元	分母非零、正性、次序

若 $F,G$ 的最小、最大值都能取得，且两点独立，则 $\forall x_1\forall x_2:F(x_1)>G(x_2)$ 等价于 $\min F>\max G$。关联两点不能各自任挑一个最不利位置。$\forall x_1\exists x_2$ 允许见证随 $x_1$ 变；$\exists x_2\forall x_1$ 要求同一见证，不能交换。

2. 用驻点方程降低目标次数

先列两点各自满足的方程。若 $ax_i^2-2x_i+1=0$，可把 $ax_i^2$ 换成 $2x_i-1$，再用韦达代换和、积，避免分别求根再代复杂式。

二次项非零、判别式正、两根合法以及导数变号缺一不可。$a=0$ 要另判，不能先除 $a$。对正点才有 $\ln x_1+\ln x_2=\ln(x_1x_2)$。

3. 换元同时写正向与反向条件

设两个正数满足 $x_1x_2=p>0$ 且 $x_1<x_2$，则 $x_2>\sqrt p$。取 $t=x_2^2$，精确域是 $t>p$，不是仅 $t>0$；反向由 $x_2=\sqrt t,x_1=p/\sqrt t$ 恢复两点，仍要核原参数及极值性质。

若令根比 $t=x_2/x_1$，先核 $x_1>0$，再由次序得 $t>1$，所以 $\ln t>0$。只有确认分母符号，除法与不等式方向才可靠。

4. 扩大范围的证明效力取决于任务

操作	能推出什么	还欠什么
在扩大域证明全称不等式	在原可行域也成立	一般无需证明扩大域每点可实现
在扩大域找到一个见证	不能保证原域存在见证	见证必须回到原可行域
在扩大域求上下界	给原目标的相应界	若称精确最值，候选须可实现
新域与原点对双向对应	可按新域精确求范围	仍核开闭端点与等号

原域存在见证会推出扩大域存在，但反向未必。全称证明与存在性/精确最值的逻辑方向不同。

二、考点 方法与例题

方法一：判存在、降次数、换元、还原

1. 定义域先行，用导数符号判哪些参数确有两不同极值点。
2. 把两条驻点方程代回目标中的平方项。
3. 用固定积消去小根，写大根平方的精确范围。
4. 对新函数求导并比较边界，找到最值候选。
5. 反向恢复两点及参数，核次序、正性、变号和可达性。

例题 01 两极值点加权函数值的最小值

题目

已知函数$f\left( x\right)=\ln x+{x}^{2}-2ax,a\in R$，

(1)当$a>0$时，讨论$f\left( x\right)$的单调性；

(2)若函数$f\left( x\right)$有两个极值点${x}_{1},{x}_{2}\left( {x}_{1}<{x}_{2}\right)$，求$2f\left( {x}_{1}\right)-f\left( {x}_{2}\right)$的最小值.

答案与解析

解析

（1）定义域 $x>0$，

$$f^{\prime}(x)=\frac{2x^2-2ax+1}{x}.$$

题设本问 $a>0$。当 $0<a<\sqrt2$，分子判别式负，恒正；当 $a=\sqrt2$，分子为 $2(x-1/\sqrt2)^2$，仅孤立点为0，不妨碍严格递增。所以 $0<a\le\sqrt2$ 时在 $(0,+\infty)$ 严格递增。

当 $a>\sqrt2$，记

$$r_- =\frac{a-\sqrt{a^2-2}}2,\qquad r_+ =\frac{a+\sqrt{a^2-2}}2.$$

两根均正，导数在 $(0,r_-)$、$(r_+,+\infty)$ 正，在 $(r_-,r_+)$ 负，故相应两增一减。

（2）本问并未预设 $a>0$。若 $a\le0$，分子 $2x^2-2ax+1>0$ 无极值点；结合（1），恰有两极值点当且仅当 $a>\sqrt2$，即 $x_1=r_-,x_2=r_+$。它们满足

$$x_1+x_2=a,\quad x_1x_2=\frac12,\quad 2ax_i=2x_i^2+1.$$

所以 $f(x_i)=\ln x_i-x_i^2-1$，代入 $x_1=1/(2x_2)$，取 $t=x_2^2>1/2$，得到

$$2f(x_1)-f(x_2)=G(t)=t-\frac1{2t}-\frac32\ln t-2\ln2-1.$$

$$G^{\prime}(t)=\frac{(2t-1)(t-1)}{2t^2}.$$

在 $(1/2,1)$ 负，在 $(1,+\infty)$ 正，所以新域上的最小值为 $G(1)=-1/2-2\ln2$。

还原 $t=1$：$x_2=1,x_1=1/2,a=3/2>\sqrt2$，确是原函数的两不同极值点，最小值达到。事实上任意 $t>1/2$ 都对应上述正点及 $a=\sqrt t+1/(2\sqrt t)>\sqrt2$；两点是二次分子的根且变号，说明这里新域与合法点对双向对应，没有引入虚假候选。

本题结论

（1）分界 $a=\sqrt2$，单调区间见解析；（2）最小值 $-\frac12-2\ln2$，在 $a=\frac32$ 达到。

方法二：同一约束的三种后续任务

按目标选择方法：独立两变量比较最不利值；关联两点先用共同约束消元，再判断任务是求精确最值，还是证明一个界。

• 独立两变量与严格最值比较：先固定参数，再确认两最不利位置能同时取；严格边界若实际同取则必须排除。
• 两极值点与未达上界：驻点方程降次数，换成参数的倒数；开域边界对应两点合并，不能宣布取得最大值。
• 两零点消参及均值位置：两零点式相减，正对数差作分母，令根比 $t>1$。用两层导数及基准值证符号，再比较平方平均与算术平均。这是全称证明，可以在包含可行比值的整个 $t>1$ 上证明，无需额外宣称每个比值实际可实现。

三、坑点 辨析与纠错

1. 正实根和驻点不等于极值点

判别式正仅保证两个实根；还要定义域、两正根及导数变号。重根两侧可能同号，不是两极值点。单调性分类尤其别漏参数为0或题目第二问已不再沿用第一问的参数限定。

2. 开端点与最值候选必须回验

两点重合不合法时，新变量对应边界仍须开着。求导找到候选只是新函数的结果，恢复原两点及参数才能称原题最小值。参数的必要可行范围也不是目标全体要求的最终范围。扩大域上的见证可能落在原域之外，而未达上界可能让严格不等式的参数保留等号，两类问题不要混用。

上一页11. 新定义翻译、抽象恒等式与选点回验

下一页13. 反射、倒数与比例换元：证明两点的位置关系