不等关系、建模与运算边界

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把现实语言写成数学关系，再检查每次变形保留了哪些条件。严格与非严格、正负与零、对象范围与单位，决定不等式能否正确传递；一道性质判断题也应给出普遍证明或真正满足前提的反例。

一、知识点概念与依据

1. 先确定比较的量与边界

实数 $a,b$ 比较大小，可归结为差： $a>b\iff a-b>0$ ， $a=b\iff a-b=0$ ， $a<b\iff a-b<0$ 。三个关系恰有一个成立。 $a\ne b$ 只排除相等，不指定谁较大。

语言	数学关系
超过、多于、大于	$>$
不到、少于、小于	$<$
至少、不少于、不低于	$\ge$
至多、不超过、不高于	$\le$

“在某时限内”若未明确是否含终点，须根据上下文说明边界，不能静默把 $\le$ 改成 $<$ 。不等式的解是允许范围内使关系成立的值，解集收集全部这样的值。链式 $L<x\le U$ 同时要求 $x>L$ 和 $x\le U$ ，不是二选一。它写成区间为 $(L,U]$ ；无穷大不是可取到的实数端点。多个条件的“且”取交集，“或”取并集，例如 $x<L$ 或 $x>U$ 不能改写成同时满足两边。

例如甲、乙两班的分数分别为 $x,y$ ，甲高于乙且总分超过 $170$ 、不超过 $190$ ，应同时写 $x>y$ 与 $170<x+y\le190$ 。仅写总分不能代替两班之间的关系。

2. 模型还包括对象域、单位和“平均”的意义

先给变量命名及单位，再用路程、时间、速度或数量关系列式。正的长度和速度要写正性；人数、件数有整数约束；平均每天产量却不必为整数。若每天新增产量，先求新的日产量再乘天数，不能在总量中只加一次每日增量。不能把一个变量的范围假设偷偷转移给另一个。

时间 $=$ 路程除以速度，连续分段时间相加，不能把速度直接相加。不同单位可以共存，但每个商和最终比较的量纲必须一致。例如厘米除以厘米每秒得到秒，再乘米每秒得到米；不必因为出现厘米与米就盲目把所有数字一起换算。

均量须按定义计算：平均单价是总费用除以总数量，不一定是两个单价的算术平均。平均每天生产 $x$ 件，只要求总件数与天数相容，不能无依据把 $x$ 限定为整数。

3. 同加可以保序，同乘须分正负零

$a>b$ 时，同加任意实数 $c$ ，新差 $(a+c)-(b+c)=a-b>0$ ，所以保序；移项是两边同加相反数。若再有 $b>c$ ，由 $(a-b)+(b-c)>0$ 得 $a>c$ ，这就是传递性。

两边同乘实数 $k$ ，新差 $ka-kb=k(a-b)$ ，因而：

$k$	从 $a>b$ 得到	逆向是否可恢复
$k>0$	$ka>kb$	可除以正数恢复
$k<0$	$ka<kb$	可除以负数反向恢复
$k=0$	$ka=kb=0$	原大小信息丢失

除法要求除数非零，再按正负决定方向。对 $a\ge b$ ，乘正数保留 $\ge$ ，乘负数变为 $\le$ ，乘零相等；新差为零的条件是 $k=0$ 或 $a=b$ 。

特别地， $a>b$ 只能推出 $ac^2\ge bc^2$ ： $c=0$ 时相等， $c\ne0$ 时严格大于。但若已知 $ac^2>bc^2$ ，严格前提已经排除 $c=0$ ，于是能除以正数 $c^2$ 得 $a>b$ 。两个推理方向掌握的非零信息不同。

分式不等式先保留原分母非零；选 $a^2b^2$ 作正公共乘数时，仍须先有 $a,b\ne0$ 。乘平方不能使原来无定义的式子合法。

4. 两条不等式合成，先看新差

若 $a>b,c>d$ ，两个正差相加，得到 $a+c>b+d$ 。直接相减却有

(a-c)-(b-d)=(a-b)-(c-d),

右侧是两个正数的差，大小未知。应先把第二条乘 $-1$ 得 $-c<-d$ ，此时已不能直接同向相加。

若 $a>b>0,c>d>0$ ，则

ac-bd=c(a-b)+b(c-d)>0,

所以 $ac>bd$ 。正性是条件，四个量任意实数时不能照搬。分别求得的界可以合成有效界，却未必能由同一组变量同时取到；声称最值时须另查共同取等，不能只看各自端点。

例如 $a>b>0,c<d<0$ ，正确固定关系是 $ac<bd$ ：由 $a>b$ 同乘 $c<0$ 得 $ac<bc$ ，由 $c<d$ 同乘 $b>0$ 得 $bc<bd$ 。交叉积 $ad$ 与 $bc$ 则未定： $(a,b,c,d)=(3,1,-2,-1)$ 给 $ad=-3<bc=-2$ ； $(2,1,-10,-1)$ 给 $ad=-2>bc=-10$ 。两组都符合原条件。

5. 倒数先查非零与同号

对 $a,b\ne0$ ，

\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}.

同号时 $ab>0$ ，倒数次序与原数相反，包括两个负数；异号时 $ab<0$ ，不能套“取倒数反向”的同号规则。例如 $1>-1$ 且 $1/1>1/(-1)$ 。

若 $a>b>c$ ，则 $a-c>b-c>0$ ，故 $1/(a-c)<1/(b-c)$ 。比较的是两个正差的倒数，不是字母本身的倒数。若 $a/c>b/c$ 且 $c<0$ ，同乘负数得 $a<b$ 。

同分子分式也要检查分子：正分子下正分母越大，商越小；负分子下方向相反；分子为零且分母非零时都等于零。跨零的倒数范围须分两段，不能把两个端点倒过来就填成一个区间，详见范围求解单元。

6. 乘方、开方与绝对值

平方差

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

说明还要检查和的符号。 $a>b\ge0$ 时平方仍大； $0\ge a>b$ 时平方反而小，包括 $a=0$ 的边界。异号时平方顺序取决于绝对值，不能只看原数先后。

一次幂就是原数；一般地，对整数 $n\ge2$ 和 $a>b\ge0$ ，

a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots+b^{n-1})>0.

展开右侧时相邻混合项成对抵消，只剩 $a^n-b^n$ 。括号内至少首项正，故非负范围内任意正整数次幂保序。奇次幂在全实数上保序：两个负数取相反数转为正数后再恢复负号，异号时直接由符号判断。偶次幂比较绝对值而非原数。

两个非负数的平方根也保序：若根的大小相反，其平方大小也相反，与原数关系矛盾。因此 $\sqrt a>\sqrt b\iff a>b$ 的语境包括 $a,b\ge0$ 。 $\sqrt{a^2}=\lvert a\rvert$ ，不是无条件等于 $a$ 。

例如 $a<b<0$ ，则 $1/a>1/b$ ，而 $-a>-b>0$ 给 $\sqrt{-a}>\sqrt{-b}$ ；取 $a=-16,b=-4$ ，两根分别为 $4,2$ 。这些结论的非负范围不能借给另一个未经限制的式子。

二、考点方法与例题

1. 语言题按“量、域、关系、边界”列式

先写变量及单位，给出正性或整数条件；再把每句要求翻译成关系，最后代入临界值检查严格号。若原词义和给定选项冲突，保留题目并分开说明两种读法，不为迎合答案更改题意。

例题 01 先由引线长度换算燃烧时间

题目

在开山工程爆破时，已知导火线燃烧的速度是0.5 cm/s，人跑开的速度为4 m/s，为了使点燃导火线的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火线的长度x（cm）应满足的不等式为（　　）

A．4× $\frac{x}{0.5}$ ≥100 B．4× $\frac{x}{0.5}$ ≤100

C．4× $\frac{x}{0.5}$ ＞100 D．4× $\frac{x}{0.5}$ ＜100

答案与解析

解析

设燃烧时间为 $t$ 秒，由引线长 $x$ 厘米、速度 $0.5$ 厘米每秒， $t=x/0.5$ 。人每秒跑 $4$ 米，这段时间跑 $4x/0.5$ 米。

按题意必须超过 $100$ 米，所以 $4x/0.5>100$ 。每步单位分别为秒、米，符合比较；化简 $8x>100$ ，得 $x>12.5$ 厘米。取等时只到 $100$ 米，不符合题设严格要求。

本题结论

C， $4x/0.5>100$ ，即 $x>12.5$ 厘米。

例题 02 分段时间相加，另辨时限端点

题目

持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共 $40km$ ，其中靠近灭火前线 $5km$ 的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为 $60\frac{km}{h}$ ，设需摩托车运送的路段平均速度为 $x\frac{km}{h}$ ，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（）．

A． $\frac{40}{60+x}>1$ B． $\frac{40}{60+x}<1$

C． $\frac{35}{60}+\frac{5}{x}>1$ D． $\frac{35}{60}+\frac{5}{x}<1$

答案与解析

解析

乘车走 $40-5=35$ 千米，时间为 $35/60$ 小时；摩托走 $5$ 千米，速度 $x>0$ ，时间为 $5/x$ 小时。总时间为 $35/60+5/x$ 。

若“1小时内”理解为严格少于 $1$ 小时，应列 $35/60+5/x<1$ ，与 D 对应。移项得 $5/x<5/12$ ，因 $x>0$ 可同乘 $12x$ ，得到 $x>12$ 。

若理解为不超过 $1$ 小时，则应列 $35/60+5/x\le1$ ，得到 $x\ge12$ ，端点恰用 $1$ 小时。原选项没有这一非严格式，故原答案 D 依赖严格读法，不能无说明排除端点。

本题结论

按原答案的严格读法选 D， $x>12$ ；若允许恰好 1 小时则应为 $x\ge12$ 。

例题 03 生产任务中的总量与平均量

题目

某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式.

答案与解析

解析

前三天完成 $3\times24=72$ 件，剩余 $15-3=12$ 天，若平均每天 $x$ 件，则最终总量为 $72+12x$ 。

“超额完成”要求总量严格超过 $408$ ，故 $72+12x>408$ ，即 $x>28$ 。写 $72+12x\ge408$ 或 $x\ge28$ 只保证完成而未必超额，原资料这一非严格号应改正。

$x$ 是平均数，不必为整数，不能直接说至少 $29$ 件。若额外要求每天生产相同整数件数，才可取最小整数 $29$ ；按实际总件数为整数，超额的最少剩余总件数是 $337$ ，相应最小平均数是 $337/12$ 。题目只要求列不等关系时，核心模型为 $x>28$ ，并应保持“超额”的严格含义。

本题结论

$72+12x>408$ ，即 $x>28$ ；原非严格不等号不符合“超额”。

2. 性质命题逐项证明或给合法反例

先读选项自己的前提，检查分母、根号及可能为零的因子。正确项需要对全部合法对象成立的证明；错误项只需一个满足全部前提但结论失败的反例。若严格结论成立，较弱的非严格结论也成立；多选要查全，单选若同时给强弱正确项须指出不唯一。不能从一项借用另一项的正性，也不能用无定义的数值代替合法反例。

例题 04 四次方、平方因子与倒数的条件

题目

已知 $a,b,c,d\in R$ ，则下列说法正确的是（）

A．若 $a>b$ ，则 ${a}^{4}>{b}^{4}$ B．若 $a>b$ ，则 $a{c}^{2}>b{c}^{2}$

C．若 $ab\ne 0$ ，且 $a>b$ ，则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ D．若 $a>b>0, c>d>0$ ，则 $ac>bd$

答案与解析

解析

A：取 $a=1,b=-1$ ，有 $a>b$ ，但 $a^4=b^4=1$ ，严格比较失败。

B：取符合 $a>b$ 的数并令 $c=0$ ，两边均为零，不能保持严格号。

C：取 $a=1,b=-1$ ，两数非零且 $a>b$ ，却有 $1/a>1/b$ ，不是选项所述倒数方向；缺少同号限制。

D：由 $a>b>0,c>d>0$ ， $ac-bd=c(a-b)+b(c-d)>0$ ，所以对全部题设对象成立。

本题结论

D。

例题 05 根号自带定义域，相减相乘不自动保序

题目

设 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 为实数，下列命题中成立的是（）

A．如果 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$ ，那么 $a>b$ B．如果 $ab>ac$ ，那么 $b>c$

C．如果 $a>b$ ， $c>d$ ，那么 $a-c>b-d$ D．如果 $a>b$ ， $\frac{1}{c}>\frac{1}{d}$ ，那么 $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$

答案与解析

解析

A：根号存在要求 $a,b\ge0$ 。令 $u=\sqrt a,v=\sqrt b$ ，由 $u>v\ge0$ 得 $(u-v)(u+v)>0$ ，即 $a>b$ ，成立。

B： $a(b-c)>0$ 只说明两因子同号。取 $a=-1,b=0,c=1$ ，有 $ab=0>ac=-1$ ，却 $b<c$ ，失败。

C：取 $a=3,b=2,c=5,d=1$ ，两条前提都真，但 $a-c=-2<b-d=1$ 。同向不等式不能直接相减。

D：取 $a=3,b=-2,c=1,d=-1/2$ ，则 $a>b$ 、 $1/c=1>1/d=-2$ ，但 $a/c=3<b/d=4$ 。两个关系没有正性，不能直接相乘。

本题结论

A。

例题 06 平方因子的前提与推理方向

题目

若 $a,b,c\in R$ ，则下列命题正确的是（）

A．若 $a<b$ ，则 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$

B．若 $a{c}^{2}>b{c}^{2}$ ，则 $a>b$

C．苦 $a>b,c>d$ ，那么 $a+d>b+c$

D．若 $a>b>0$ ，则 $\frac{b+1}{a+1}<\frac{b}{a}$

答案与解析

解析

A：取 $a=-1,b=1$ ，前提 $a<b$ 成立且两倒数都有定义，但 $1/a<1/b$ ，所以错误。

B：若 $c=0$ ， $ac^2=bc^2=0$ 与严格前提矛盾。因此 $c\ne0$ ，可除以正数 $c^2$ 得 $a>b$ ，正确。

C：原题“苦”按条件句“若”理解。取 $a=4,b=2,c=3,d=0$ ，有 $a>b,c>d$ ，却 $a+d=4<b+c=5$ ，错误。这里的交叉相加等价于两个正差相减。

D：分母 $a(a+1)>0$ ，作差

\frac{b+1}{a+1}-\frac ba=\frac{a-b}{a(a+1)}>0,

实际为大于，与选项相反。

本题结论

B；原题 C 的“苦”按“若”理解，不据此改变数学条件。

例题 07 绝对值出现在哪一边不能混淆

题目

下列命题中正确的是（）

A．若 ${a}^{2}>{b}^{2}$ ，则 $a>b$ B．若 $a>|b|$ ，则 ${a}^{2}>{b}^{2}$

C．若 $|a|>b$ ，则 ${a}^{2}>{b}^{2}$ D．若 $a>b$ ，则 $|a|>|b|$

答案与解析

解析

A： $a=-2,b=1$ 给 $a^2>b^2$ 却 $a<b$ ，失败。

B： $a>\lvert b\rvert\ge0$ ，于是 $a-\lvert b\rvert>0$ 、 $a+\lvert b\rvert>0$ ，相乘得 $a^2-b^2>0$ ，正确。

C： $a=1,b=-2$ 给 $\lvert a\rvert>b$ ，却 $a^2<b^2$ 。右边没有绝对值，无法提供所需非负比较。

D： $a=-1,b=-2$ 给 $a>b$ ，却 $\lvert a\rvert<\lvert b\rvert$ ，失败。

本题结论

B。