最大概率对应的是实际整数取值。均值可以是小数，也未必就是最可能次数；题目中的“唯一”还会改变边界。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

均值、方差与众数各有定义

若 $X\sim B(n,p)$，则 $E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$，标准差 $\sqrt{np(1-p)}$。把 $X$ 写成 $n$ 个成功指标之和，期望逐项相加即得均值；独立使交叉项0，方差才逐项相加。概率最大的实际成功次数称众数，可有一个或两个，不能直接用均值代替。

相邻概率比决定升降

对 $n\ge1,0<p<1$，所有 $P_k=P(X=k)$ 为正。组合数和幂因子分别相除，得

$$\frac{P_{k+1}}{P_k}=\frac{n-k}{k+1}\frac p{1-p},\quad 0\le k\le n-1.$$

比较1时分母为正，$P_{k+1}>P_k$ 等价于 $(n-k)p>(k+1)(1-p)$，消去共同项得 $(n+1)p>k+1$。等号和小于同理。令 $t=(n+1)p$，概率先升后降：

$t$ 的情形	众数
非整数	唯一为 $\lfloor t\rfloor$
整数	$t-1,t$ 两处并列

向下取整指不大于该数的最大整数。因 $0<t<n+1$，内点双众数都在0至 $n$ 内。

常量情况不能硬套双众数规则

$n=0$ 或 $p=0$ 的唯一众数为0；$p=1$ 的唯一众数为 $n$。直接按常量判定，不制造 $-1$ 或 $n+1$。线性变换后的数不再自动是成功次数，不能照搬二项取值解释。

考点

唯一最大值要严格夹界

先核二项模型并分退化情形。内点若要求 $k$ 是唯一众数，需 $k<t<k+1$；若只说 $k$ 是一个众数，可用 $k\le t\le k+1$，并核 $k$ 为0至 $n$ 内整数。边界 $k=0,n$ 只比较存在的相邻项，不使用定义域外概率比。

例题 01 唯一峰给出的试验次数

题目

已知随机变量$X\sim B\left( n,0.5\right)$，当且仅当$k=4$时，$P\left( X=k\right)$取得最大值，则$n=$（    ）

A．7 B．8 C．9 D．10

答案与解析

解析

题中 $p=1/2$，而4必须是唯一峰，所以

$$4<\frac{n+1}{2}<5\ \Longrightarrow\ 7<n<9.$$

整数只有 $n=8$，选B。也可用 $P(X=k)=\binom nk/2^n$，偶数 $n$ 中心只有 $n/2$ 一个峰，奇数有两个中心峰。A的7在3、4并列，C的9在4、5并列，D的10唯一峰5，均不符。

本题结论

B，8。

例题 02 两座城市的研学人数

题目

某学校在假期组织30位学生前往北京､上海､广州､深圳､杭州､苏州､成都､重庆8个城市参加研学活动.每个学生可自由选择8个城市中的任意1个（不要求每个城市必须要有学生选择）.若每位学生选择去每个城市的概率都相等且互不影响，则有（    ）个学生选择前往北京或上海研学的概率最大.

A．6 B．7 C．8 D．9

答案与解析

解析

每名学生选择北京或上海的概率为 $1/8+1/8=1/4$。题给各人互不影响，按相互独立模型，$X\sim B(30,1/4)$。不要求每城有人，故没有额外人数占用约束。

$t=(30+1)/4=7.75$ 非整数，唯一众数为7，选B。两侧相邻比较也给 $27/4\le k\le31/4$，其中只有整数7。该值在内部，两侧比较合法；均值 $30/4=7.5$ 是平均值，不表示一次有半个人，更不能四舍五入为8来判峰。

本题结论

B，7人。

四次成功计数的完整题给出均值、方差与线性变换的具体计算；这些数字特征与“哪一项概率最大”要分别回答。

坑点

并列与整数范围都不能漏

“一个最大点”允许相邻项等大，“当且仅当”要求唯一。反求次数时先解实数不等式，再取合法整数并检查端点。概率值的对称与均值的位置都不能替代这个步骤。

均值四舍五入没有普遍众数依据

可在研学题中练习区分均值与最可能取值。真正控制相邻概率增减的是 $(n+1)p$，不是 $np$。端点 $p=0,1$ 则先判常量，不沿用只在正概率比下推导的公式。

上一页二项分布：重复独立试验的成功次数

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