方向向量与法向量：从方向到位置

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两条不共线面内方向加上非零条件，才能确定合格法方向。

一、知识点理解概念

1. 方向向量要非零，位置还需要一点

直线 $l$ 的方向向量 $\vec u$ 是与其方向平行的非零向量。取 $A\in l$ ，则点 $P$ 在直线上当且仅当存在实数 $t$ ，使

\vec{AP}=t\vec u,\qquad \vec{OP}=\vec{OA}+t\vec u.

这来自共线定理；反向由数乘可知点在过 $A$ 的该方向直线上。 $\vec u$ 的任意非零倍数仍为方向向量，取反只改参数正方向，不改直线。若 $\vec u=\vec0$ ，只能得到 $P=A$ ，不能表示直线。

2. 法向量为何只需验证两个不共线方向

平面法向量 $\vec n$ 是垂直平面的直线的非零方向向量，等价于垂直面内每个方向。取面内两条相交直线的不共线方向 $\vec a,\vec b$ ，则任一面内位移可写 $\vec v=x\vec a+y\vec b$ 。

若 $\vec n\ne\vec0$ 且 $\vec n\cdot\vec a=\vec n\cdot\vec b=0$ ，由分配律得 $\vec n\cdot\vec v=0$ ，便覆盖了所有面内方向；反向法向量当然垂直两方向。若二者共线，两约束可能重复，不足以确定法方向。

求法向量只关心已经确认属于该面的方向，两个向量可不同起点，也可反向；证明端点共面才另需共同起点的位置连接。

3. 非零法向量与平面位置方程

给定非零法向量 $\vec n$ 及平面上一点 $A$ ，平面可写成所有满足 $\vec n\cdot\vec{AP}=0$ 的点 $P$ 。过 $A$ 垂直于 $\vec n$ 所在方向直线的平面唯一，数量积为零正好要求位移在此方向平面内。

若 $\vec n=\vec0$ ，方程对空间所有 $P$ 都成立，不能确定平面。非零法向量的任何非零倍数都可用；若题目另求单位法向量，再除以模即可，两个相反单位方向均可。

二、考点方法与例题

1. 设三个分量，解双约束并回代

在单位正交坐标系中，先由终点减起点求两个不共线面内方向。设 $\vec n=(x,y,z)$ ，列两数量积为零的方程；先确定可自由取值的变量，再选方便非零值，最后代回两式。直线方向则由两不同点的位移直接取出。

例题 01 三个轴截点确定的法方向

已知 $A(0,4,0),B(3,0,0),C(0,0,2)$ ，则平面ABC的一个法向量可以为（）

A． $(4,3,6)$ B． $(-4,3,6)$ C． $(4,-3,6)$ D． $(4,3,-6)$

答案与解析

$\vec{AB}=(3,-4,0)$ ， $\vec{AC}=(0,-4,2)$ ，两者非零且不共线。设 $\vec n=(x,y,z)$ ，须满足

3x-4y=0,\qquad -4y+2z=0,

故 $x=4y/3,z=2y$ 。取 $y=3$ 得 $\vec n=(4,3,6)\ne\vec0$ ，选 A；代回两式均为零。

B 与 $\vec{AB}$ 的数量积为 $-24$ ，C 与 $\vec{AB}$ 的数量积为 $24$ ，D 与 $\vec{AC}$ 的数量积为 $-24$ ，均不合格。若取 $y=0$ ，所有分量为零，虽满足方程却不能作法向量。

例题 02 面内双方向的条件

已知点 $A\left( 0,0,0\right)$ 、 $B\left( 0,0,1\right)$ 、 $C\left( 1,1,0\right)$ 在平面 $\alpha$ 内，则下列向量为平面 $\alpha$ 的法向量的是（）

A． $\vec{n}=\left( 0,1,0\right)$ B． $\vec{n}=\left( 1,-1,0\right)$

C． $\vec{n}=\left( 1,1,0\right)$ D． $\vec{n}=\left( 1,1,1\right)$

答案与解析

$\vec{AB}=(0,0,1),\vec{AC}=(1,1,0)$ ，不共线。两方程为 $z=0,x+y=0$ 。选择可非零的 $x=1$ ，得 $(1,-1,0)$ ，选 B。

A 的 $(0,1,0)$ 只垂直 $\vec{AB}$ ，与 $\vec{AC}$ 点积为 $1$ ，不合格。C 与 $\vec{AC}$ 点积为 $2$ ，D 与 $\vec{AB}$ 点积为 $1$ ，也失败。

此题 $z$ 必须为零；若机械取 $z=1$ 会得到矛盾，但并非平面没有法向量，只是选错了自由分量。

2. 已定坐标轴，不能换到习惯的原点读图

原点、轴正方向和单位按题给设定，先逐点写坐标，再取面内方向。两个方向可以不同起点，只需都在目标面内且不共线。

例题 03 正方体截面的法向量

如图，已知正方体 $ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}$ 的棱长为1，以D为原点，以 $\left\{ \vec{DA},\vec{DC},\vec{D{D}_{1}}\right\}$ 为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面 ${A}_{1}B{C}_{1}$ 的一个法向量是（）

A． $\left( 1,1,1\right)$ B． $\left( -1,1,1\right)$

C． $\left( 1,-1,1\right)$ D． $\left( 1,1,-1\right)$

答案与解析

$D$ 为原点，基底顺序是 $\vec{DA},\vec{DC},\vec{DD_1}$ ，棱长为 $1$ 。所以 $A_1=(1,0,1),B=(1,1,0),C_1=(0,1,1)$ 。

面内方向 $\vec{A_1C_1}=(-1,1,0),\vec{BC_1}=(-1,0,1)$ 不共线。设 $\vec n=(x,y,z)$ ，得 $-x+y=0,-x+z=0$ ，即 $x=y=z$ 。取 $x=1$ ，得 $(1,1,1)$ ，选 A。

B 与第一个方向数量积为 $2$ ，C 与第一个为 $-2$ ，D 与第二个为 $-2$ ，均不合格。这两个面内向量虽不同起点，但方向已知属于同一平面，求法向量无需额外强制同起点。

3. 方程的零解不是合格法方向

齐次方程总有零解，法向量必须把它排除。每个候选都核两个数量积；“与一个已知法向量共线”也必须补非零要求。

例题 04 同时检查非零与双垂直

在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，已知点 $A(-1, 0, 0), B(0, 0, 1), C(1, 1, 1)$ ，则下列向量坐标可以作为平面 $ABC$ 的一个法向量的是（）

A． $(0,0,0)$ B． $(-2,2,2)$

C． $(1,1,-1)$ D． $(-1,-1,1)$

答案与解析

$\vec{AB}=(1,0,1),\vec{AC}=(2,1,1)$ 不共线。方程 $x+z=0,2x+y+z=0$ 给 $z=-x,y=-x$ ，所以所有代数解是 $x(1,-1,-1)$ ，其中 $x\ne0$ 才是法向量。

A 是零向量，虽然两数量积都为零，仍须排除。B 为 $-2(1,-1,-1)$ ，非零且满足双约束，所以选 B。C、D 与 $\vec{AB}$ 的数量积均为零，但与 $\vec{AC}$ 的数量积分别为 $2,-2$ ，只过一条约束，不合格。

“与法向量平行的向量即可”必须理解为非零倍数；零向量的共线约定不能让它成为法方向。