新定义翻译、抽象恒等式与选点回验

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新名称不是额外定理。把题给规则逐字转成条件，固定外层变量后再求导或选点，最后回到完整定义检验，才不会只完成一半。

一、知识点概念与依据

1. 新定义先列清单

先列变量集合、开闭端点、两点是否不同、量词次序及严格性。差商分母隐含两点不同；“对任意 $t$ 存在两点”允许这两点随 $t$ 变化，不要求一对固定点承担全部 $t$ 。

新定义的运算按原式执行。二阶导数是导函数再求导，需相应可导性，不是平方。题内以 $f^{\prime\prime}<0$ 命名“凸”，就按其规则判断；曲率等公式按给定位置代值，不暗中换成别的定义。这些属于拓展，考试可用，代数计算不冒充公式几何来源的推导。

2. 割线斜率转为同值点

固定 $t$ ，记 $c=f^{\prime}(t)$ 。两点不同才可把

\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}=c\iff f(x_1)-cx_1=f(x_2)-cx_2.

所以要求 $G_t(x)=f(x)-cx$ 有两不同点同值，即不是一一对应。不要只说“不单调”而混用严格与非严格含义。证明性质需对每个 $t$ 找到这样的点；否定只需一个合法 $t$ 使 $G_t$ 一一对应。

3. 内部中值点与区间端点分别核

“双中值”要求 $a<x_1<x_2<b$ ，两个导数值都等于固定割线斜率 $[f(b)-f(a)]/(b-a)$ 。先算斜率，再解导函数方程，最后核两根都在开区间。

如果端点还要求同高，割线斜率虽为0，但“导函数有两根”并未保证能找到同高端点将它们夹在内部。需另构造合法端点并回代，不能只给必要条件。

4. 抽象恒等式中的定点值是常数

已知式必须在一个区间的全部合法 $x$ 上成立，且有相应可导性，才可两边求导；某一个点成立的数值等式不能直接求导。

记 $A=f(c),B=f^{\prime}(c)$ ，固定 $c$ 后两者是常数，未知不意味着随 $x$ 变化。对 $A,B$ 求导为0，对 $Bx$ 求导为 $B$ 。 $f^{\prime}(x)$ 再求导才需二阶导数； $f(u(x))$ 则保留链式因子 $u^{\prime}(x)$ 。代原式得到函数值方程，代导数式得到导数值方程，两者不可混用。

二、考点方法与例题

方法一：求导两次后按题内规则逐项检验

先确认点和区间合法，分别写一阶、二阶导数。恒成立逐段证符号，不能只验几个数；否定恒成立用合法反例即可。点值计算先核点在曲线上，再把一阶、二阶值分别放入公式，保留绝对值、平方、幂次和分母条件。

给出定义：若函数 $f\left( x\right)$ 在D上可导，即 ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 存在，且导函数 ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 在D上也可导，则称 $f\left( x\right)$ 在D上存在二阶导数，记 ${f}^{\prime\prime}\left( x\right)={\left( {f}^{\prime}\left( x\right)\right)}^{\prime}$ .若 ${f}^{\prime\prime}\left( x\right)<0$ 在D上恒成立，则称 $f\left( x\right)$ 在D上为凸函数.以下四个函数在 $\left( 0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上不是凸函数的是（）

A． $f\left( x\right)=\sin x+\cos x$ B． $f\left( x\right)=\ln x-2x$

C． $f\left( x\right)=-{x}^{3}+2x-1$ D． $f\left( x\right)=-x{e}^{-x}$

答案与解析

解析

本题要选不满足“二阶导数恒负”定义的一项，按这个约定计算。在 $0<x<\pi/2$ ：

项	一阶导数	二阶导数与符号
A	$\cos x-\sin x$	$-\sin x-\cos x<0$
B	$1/x-2$	$-1/x^2<0$
C	$-3x^2+2$	$-6x<0$
D	$(x-1)e^{-x}$	$(2-x)e^{-x}>0$

A用第一象限正弦余弦均正；B、C用 $x>0$ ；D因 $\pi/2<2$ ，全区间 $2-x>0$ 。所以D不满足定义，其他三项满足。这里二次求导使用乘积与链式，不能把一次导数平方。

本题结论

D。

例题 02 按曲率公式代入不同阶导数

题目

曲率是刻画曲线弯曲程度的重要指标，曲线的曲率定义如下：记 ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 是 $f\left( x\right)$ 的导函数， ${f}^{\prime\prime}\left( x\right)$ 是 ${f}^{\prime}\left( x\right)$ 的导函数，那么曲线 $y=f\left( x\right)$ 在点 $\left( {x}_{0},f\left( {x}_{0}\right)\right)$ 处的曲率 $K=\frac{\left| {f}^{\prime\prime}\left( {x}_{0}\right)\right|}{{\left\{ 1+{\left[ {f}^{\prime}\left( {x}_{0}\right)\right]}^{2}\right\}}^{\frac{3}{2}}}$ ，则曲线 $f\left( x\right)=\sin x+\cos x$ 在点 $\left( \frac{\pi }{4},\sqrt{2}\right)$ 处的曲率为（）

A．0 B． $\frac{\sqrt{6}}{9}$ C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D． $\sqrt{2}$

答案与解析

解析

$f(\pi/4)=\sqrt2$ ，给定点确实在曲线上。再分别求

f^{\prime}=\cos x-\sin x,\quad f^{\prime\prime}=-\sin x-\cos x,

所以 $f^{\prime}(\pi/4)=0$ ， $f^{\prime\prime}(\pi/4)=-\sqrt2$ 。按题给公式

K=\frac{|-\sqrt2|}{(1+0^2)^{3/2}}=\sqrt2.

选D。分子取绝对值，曲率不是负数；分母1加平方始终正。此处使用题设公式，不需另假称已经推导其几何来源。

本题结论

D， $\sqrt2$ 。

方法二：全称用构造，否定用一个反例

固定外层变量，再把导数值视为常数。
转成同值点或导函数取固定值，明确不同点和区间限制。
证明全部情形时给选点依据，否定时给合法反例。
若区间端点也待选，另证端点同高及严格夹住两根。
回代全部原条件。导数非正仅在孤立点为0仍可严格递减，但不能误写成处处负。

例题 03 任意切线斜率与两点同值

题目

设 $f(x)$ 定义在 $R$ 上，若对任意实数 $t$ ，存在实数 ${x}_{1},{x}_{2}$ ，使得 $\frac{f\left( {x}_{1}\right)-f\left( {x}_{2}\right)}{{x}_{1}-{x}_{2}}={f}^{\prime }(t)$ 成立，则称 $f(x)$ 满足“性质 $T$ ”，下列函数满足“性质 $T$ ”的有（）

A． $f(x)={x}^{3}-3x$ B． $f(x)={e}^{x-1}$ C． $f(x)=\sin 2x$ D． $f(x)=\frac{x}{{x}^{2}+1}$

答案与解析

解析

差商要求 $x_1\ne x_2$ 。固定 $t$ ，令 $G_t=f-f^{\prime}(t)x$ ，逐项检验其能否有两不同点同值。

A：取 $t=0$ ， $G_0=x^3$ 严格增，无同值两点，所以不满足全称。

B：任意 $t$ ， $G_t=e^{x-1}-xe^{t-1}$ ，导数 $e^{x-1}-e^{t-1}$ 在 $t$ 左负右正，两端均趋向 $+\infty$ 。任选高于最低值的水平线，两连续严格单调支各有唯一交点，且分别在 $t$ 两侧，构成所需两点。因 $t$ 任意，B满足。

C：取 $t=0$ ， $G_0=\sin2x-2x$ ，导数 $2\cos2x-2\le0$ ，仅 $x=k\pi$ 为0。导数非正使函数不增，而任何非空区间内均含导数严格负的小区间，故端点函数值严格下降，不可能同值。C不满足。

D：取 $t=0$ ， $G_0=-x^3/(x^2+1)$ ，

G_0^{\prime}=-\frac{x^4+3x^2}{(x^2+1)^2}\le0,

仅0取等，同理全域严格减，无同值两点。不能把0处也写成严格负，但排除结论不变。综上只选B。

本题结论

B。

例题 04 双中值点与同高端点的完整构造

题目

若函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ a,b\right]$ 上存在 ${x}_{1},{x}_{2}\left( a<{x}_{1}<{x}_{2}<b\right)$ ，使得 $f\prime \left( {x}_{1}\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ， $f\prime \left( {x}_{2}\right)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ ，则称 $f\left( x\right)$ 是 $\left[ a,b\right]$ 上的“双中值函数”，其中 ${x}_{1},{x}_{2}$ 称为 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ a,b\right]$ 上的中值点.

(1)判断函数 $f\left( x\right)={x}^{3}-3{x}^{2}+1$ 是否是 $\left[ -1,3\right]$ 上的“双中值函数”，并说明理由；

(2)已知函数 $f\left( x\right)=\frac{1}{2}{x}^{2}-x\ln x-ax$ ，存在 $m>n>0$ ，使得 $f\left( m\right)=f\left( n\right)$ ，且 $f\left( x\right)$ 是 $\left[ n,m\right]$ 上的“双中值函数”， ${x}_{1},{x}_{2}$ 是 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ n,m\right]$ 上的中值点.

①求 $a$ 的取值范围；

②证明： ${x}_{1}+{x}_{2}>a+2$ .

答案与解析

解析

（1） $f(3)=1,f(-1)=-3$ ，割线斜率 $(1+3)/4=1$ 。导数为 $3x^2-6x$ ，解 $f^{\prime}=1$ 得

x_1=1-\frac{2\sqrt3}{3},\quad x_2=1+\frac{2\sqrt3}{3}.

它们不同且 $-1<x_1<x_2<3$ ，所以是双中值函数。

（2）① 由 $f(m)=f(n)$ ，割线斜率0，两个中值点必须为 $G=f^{\prime}=x-\ln x-a-1$ 的两不同正根。 $G^{\prime}=(x-1)/x$ ，在1左减右增，最低值 $-a$ ，两端趋向 $+\infty$ 。故两根存在当且仅当 $a>0$ ，且 $0<x_1<1<x_2$ 。

还需证明同高端点确能选出。 $f^{\prime}$ 依次正、负、正，设 $A=f(x_1),B=f(x_2)$ ，有 $A>B$ 。由驻点关系 $\ln x_1=x_1-a-1$ ，

A=x_1-x_1^2/2>0.

选 $\max\{B,0\}<c<A$ 。 $f(x)\to0$ 当 $x\to0^+$ ，且在 $(0,x_1)$ 严格增，所以有 $n\in(0,x_1)$ 使 $f(n)=c$ ；在 $(x_2,+\infty)$ 严格增且趋向 $+\infty$ ，有 $m>x_2$ 使 $f(m)=c$ 。于是 $0<n<x_1<x_2<m$ ，全部定义条件成立。故 $a>0$ 也充分。

② 由 $x_1-\ln x_1=a+1$ ，所证等价于 $x_2>1-\ln x_1$ 。对 $0<x<1$ 令

H(x)=G(x)-G(1-\ln x)=x-1+\ln(1-\ln x).

两输入均正。记 $\Phi(x)=x(1-\ln x)$ ，有 $\Phi^{\prime}=-\ln x>0$ ， $0<\Phi(x)<\Phi(1)=1$ 。因此

H^{\prime}(x)=1-1/\Phi(x)<0.

在端点1连续延拓得 $H(1)=0$ ，所以 $H(x_1)>0$ ，即 $G(x_2)=G(x_1)>G(1-\ln x_1)$ 。 $x_2$ 与 $1-\ln x_1$ 都大于1，属于 $G$ 的同一严格增支，可以反推所需 $x_2>1-\ln x_1$ ，即 $x_1+x_2>a+2$ 。

本题结论

（1）是；（2）① $a>0$ ；② 所求严格不等式成立。

方法三：先记常数，再建立自洽方程

把定点值整块记作常数；在原式与求导式中选合适合法定点赋值。解出的常数代回两式核对，最后按问法求高度、斜率或切线。未知系数可能为0时不要直接除它；指数括号与链式因子逐层保留。

例题 05 原式与导数式分别确定两个常数

题目

已知函数 $f(x)={e}^{x-1}+{f}^{\prime}(1){x}^{2}+f(1)x+1$ ，则 ${f}^{\prime}(2)=$ （）

A． $e+2$ B． $e-3$ C． $e-5$ D． $e-7$

答案与解析

解析

记 $A=f^{\prime}(1),B=f(1)$ ，原恒等式为 $f(x)=e^{x-1}+Ax^2+Bx+1$ 。先代1： $B=1+A+B+1$ ，所以 $A=-2$ 。

对 $x$ 求导得 $f^{\prime}(x)=e^{x-1}+2Ax+B$ ，再代1： $-2=1-4+B$ ，所以 $B=1$ 。代回

f(x)=e^{x-1}-2x^2+x+1,\quad f^{\prime}(x)=e^{x-1}-4x+1.

原式在1给1，导数在1给 $-2$ ，自洽。故 $f^{\prime}(2)=e-8+1=e-7$ ，选D。 $e^{x-1}$ 的导数仍是 $e^{x-1}$ ，不是 $(e^x)^{-1}=e^{-x}$ ；这两个幂式不同，不能用后者作中间导数。

本题结论

D， $e-7$ 。

例题 06 定点导数作为二次项系数

题目

已知函数 $f\left( x\right)={x}^{2}{f}^{\prime}\left( \frac{1}{3}\right)+\ln x-9$ ，则函数在 $x=1$ 处的切线方程是（）

A． $y=\frac{9}{2}x-9$ B． $y=19x-19$ C． $y=19x-\frac{29}{2}$ D． $y=\frac{9}{2}x+\frac{47}{2}$

答案与解析

解析

记 $C=f^{\prime}(1/3)$ ，定义域 $x>0$ ，则 $f=Cx^2+\ln x-9$ ，导数为 $f^{\prime}=2Cx+1/x$ 。代合法点 $1/3$ ：

C=\frac23C+3\quad\Longrightarrow\quad C=9.

所以 $f(1)=0$ ， $f^{\prime}(1)=19$ ，切线 $y=19(x-1)=19x-19$ ，选B。高度0与斜率19要分别从原式、导数式求，不把未知常数 $C$ 当作随变量变化的导函数。

本题结论

B， $y=19x-19$ 。