用对数判断数量级与位数

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大幂不必先展开成全部数字。把位数翻译成两条相邻十进制界，再取对数，问题就变成区间与整数筛选；不过，必须先说清对象是不是整数，以及近似数据是否足够远离边界。

一、知识点概念与依据

1. 正整数的位数是一条左闭右开区间

正整数 $N$ 有 $d$ 位，当且仅当

10^{d-1}\le N<10^d.

左端是最小的 $d$ 位正整数，当然可取；右端已经是最小的 $d+1$ 位正整数，必须排除。例如1000正好4位，不应因它是边界而被遗漏。

底10递增，取对数保持次序：

d-1\le\lg N<d.

因此 $d=\lfloor\lg N\rfloor+1$ 。这里 $\lfloor t\rfloor$ 表示不超过 $t$ 的最大整数；“加1”不能忘。若 $\lg N=k\in\mathbb Z$ ，则 $N=10^k$ ，恰为 $k+1$ 位，左端等号仍是必要的。

2. 科学记数法的系数必须规范化

任意正实数可写成 $P=s\cdot10^k$ ，其中 $1\le s<10,k\in\mathbb Z$ ，所以

\lg P=k+\lg s,\qquad0\le\lg s<1.

只能由 $s\ge1$ 推出对数非负；仅给 $0<s<10$ 时， $s$ 可能小于1，对数反而负。即使 $s=1$ ，输出也是0而非严格正。这条规范既确定十进制数量级，也说明两端为何一闭一开。

3. “若干位整数”与实数的整数部分要分开

先分清正在计数的对象：

对象	适用条件与所求量	十进制关系
正整数的位数	$N$ 为正整数，求 $d$	$10^{d-1}\le N<10^d$ ， $d=\lfloor\lg N\rfloor+1$
正实数整数部分的位数	$P\ge1$ ，求正整数 $\lfloor P\rfloor$ 的位数 $d$	$10^{d-1}\le P<10^d$ ，仍有 $d=\lfloor\lg P\rfloor+1$
规范科学记数法的指数	任意 $P>0$ ，写成 $P=s10^k$ ， $1\le s<10$	$k=\lfloor\lg P\rfloor$ ， $k$ 可以为负，不是位数本身

当 $P\ge1$ 但不是整数时，可以说其整数部分有 $d$ 位，不能把 $P$ 自身称为 $d$ 位整数。有限小数中包含小数部分的总数字个数又是另一概念。

若表达式含分母，先检查能否约成整数。比如分母有质因数5，而分子没有5，就不能默认分式是整数。分式不为整数时，应区分其数量级、整数部分位数与小数部分的数字个数。

4. 近似对数适合筛选，整数边界可作精确回验

幂、乘、商的常用对数可展开为线性组合。粗略参考值给出数量级线索，但误差会随系数累计；若结果靠近整数边界，不能只凭三位小数作严格断言，应取得可靠误差界或直接比较原整数。

若求一个 $d$ 位正整数的正 $m$ 次方根 $k$ ，先写 $N=k^m$ ，再得

\frac{d-1}{m}\le\lg k<\frac d m\qquad(m>0).

指数正，除后方向不变。偶次算术根取非负，原 $N>0$ 又保证根正；若题说根仍为整数，就把这个离散条件用于筛候选。最后计算或比较候选幂，防止参考小数恰好越过临界值。

二、考点方法与例题

1. 先转十进制区间，再决定正推还是反推

确认正整数或明确的整数部分口径，写左闭右开的十进制区间。正向求位数就定位对数相邻整数；反求整数根就除正指数，筛出可能的正整数。候选根既要满足范围也要使幂真有题给位数，不能只因某个近似值看起来最近就选它。

2. 边界不稳时回到精确整数比较

若求 $A/B$ 的数量级且 $B>0$ ，可把 $10^r<A/B<10^{r+1}$ 同乘正分母，转成两个大整数比较。若直接核大幂位数，可以计算候选幂或用分组的整数大小关系，无须把未经误差控制的近似符号当等号。

例题 01 大整数与高次方根

题目

一个39位整数的64次方根仍是整数，这个64次方根是（）（参考数据： $\lg 2\approx 0.301$ ， $\lg 3\approx 0.477$ ）

A． $2$ B． $3$ C． $4$ D． $5$

答案与解析

解析

原题只写“64次方根”，四个选项却全是正数，本题据此按64次算术根（正根）解释。若指满足 $z^{64}=N$ 的全部实数64次方根，则正负两支都要考虑；求出正根以后，还需加上其相反数，不能把一般偶次方根定义成唯一正根。

设原正整数为 $N$ ，其64次算术根为正整数 $k$ ，则

10^{38}\le N=k^{64}<10^{39}.

取常用对数并除正64，得

0.59375=\frac{38}{64}\le\lg k<\frac{39}{64}=0.609375.

题给参考值提示 $\lg3\approx0.477$ ， $\lg5=1-\lg2\approx0.699$ ，因此可筛出 $3<k<5$ ，整数候选只有4。再作不依赖近似的精确回验：

4^{64}=340282366920938463463374607431768211456,

确在 $[10^{38},10^{39})$ ，有39位。其余候选的幂 $2^{64},3^{64},5^{64}$ 分别有20、31、45位；因正整数的64次幂严格随底数增加，3以下与5以上也都不可能，所以4不仅在选项中唯一，也确是唯一正整数根。

原推理勘误。原详解把科学记数法只写成 $N=s10^{38},0<s<10$ ，便声称 $\lg s>0$ ，条件不足。应规范为 $1\le s<10$ ，只能推出 $0\le\lg s<1$ ；所以上面的下界允许等号。纠正后仍选C，答案没变不代表原推理可以保留成正确规则。

本题结论

按算术根口径选C，即4；若求全部实数64次方根，则是 $\pm4$ 。

我们知道，任何一个正实数 $P$ 可以表示成 $P=a\times {10}^{n}\left( 1\le a<10,n\in Z\right)$ ，此时 $\lg P=n+\lg a(1\le a<10)$ ，当 $n>0$ 时， $P$ 是 $n+1$ 位数，则 $\frac{{2}^{11}\times {3}^{40}}{{10}^{8}}$ 是（）位数（参考数据： $\lg 2\approx 0.301$ ， $\lg 3\approx 0.477$ ）

A．14 B．15 C．55 D．56

答案与解析

解析

题干对一般正实数使用“位数”的说法不够精确。这里按整数部分的十进制位数理解，并在计算后核对该表达式是否为整数；有限小数的总数字个数是另一概念。

记原量为 $P$ 。按乘商幂法则，

\lg P=11\lg2+40\lg3-8\approx11(0.301)+40(0.477)-8=14.391.

这给出位于14与15之间的数量级线索，整数部分应有15位。为不把未标误差的近似当严格界，直接核原整数乘积：

10^{22}<2^{11}3^{40}<10^{23}.

除正数 $10^8$ ，得到 $10^{14}<P<10^{15}$ ，所以整数部分确有15位，B与此口径一致。其整数部分可精确算为248988988601485；A少一位，C、D的55与56位远超已核数量级。

但 $P$ 并非整数：约去 $10^8=2^85^8$ 中的2因子，得

P=\frac{2^3 3^{40}}{5^8},

分子不含5，分母无法约尽。故不能严格称原 $P$ 为“15位整数”。原题对任意正实数直接称 $n+1$ 位数，也缺了整数对象限制；这里按整数部分位数解释，不能把原实数本身称为若干位正整数。

本题结论

按整数部分位数理解，选B，即15；原表达式不是整数。