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变化率、导数定义与几何意义

约 3943 字大约 13 分钟

从两个点的平均变化率，走到一个点的瞬时变化率。先弄清非零差商和极限，再区分函数高度、点导数与导函数；本章不用求导公式替代定义。

一、知识点 概念与依据

1. 平均变化率：完整变化除完整横距

若 a,ba,b 都在定义域中且 a≠ba\ne b，平均变化率为

f(b)−f(a)b−a.\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

分子是函数值的总变化，分母是自变量的总变化。两个差必须同向；同时反转两端，比值不变，只反转一个会错号。它是整个区间的平均，不说明各点都以这个速度变化，也不等于函数高度。

对象平均量单位与含义
一般函数[f(b)−f(a)]/(b−a)[f(b)-f(a)]/(b-a)输出单位除输入单位
位移 S(t)S(t)位移差除时间差平均速度，可正可负
累计路程路程增加量除经过时间平均速率，不把往返路程当位移

位移函数的瞬时速度是瞬时变化率；瞬时速率取速度的绝对值。负速度表示位移减少的方向，不是“时间为负”。

2. 非零差商怎样走向一个点

固定内点 x0x_0，要求它附近一个开区间内都有函数定义。令实际横坐标增量为 h≠0h\ne0，且 x0+hx_0+h 合法。普通点导数定义为

f′(x0)=lim⁡h→0f(x0+h)−f(x0)h=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0.f^{\prime}(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h =\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

第二式只是换元 h=x−x0h=x-x_0，仍要求 x≠x0x\ne x_0。这里“趋于有限数 LL”不是最终取到该数，而是：给定任意小的正误差，存在足够小的正范围，使其中所有合法非零 hh 对应的差商与 LL 的距离都小于该误差。正、负两侧必须趋同一有限值；只看几个数值接近还不是证明。

本章化简后使用有限极限的四则规则：有限极限可相加、相乘；分母极限非零才能取商。这些规则的条件不可省。特别是 h→0h\to0 不等于 h=0h=0，原差商在0未定义；0/00/0 本身不是0，也不能直接宣布极限不存在。

所在位置或极限情形能否称普通可导
内点，左右差商趋同一有限数可以，该数是点导数
左右趋不同值，或极限不存在不可以
差商发散到无穷大没有有限点导数
定义域端点只有一侧另说左导数或右导数，不能冒作双侧导数

物理模型从某时刻开始，只在起始时刻右侧有意义时，也应明确单侧模型。

3. 可导为什么保证连续

在 x0x_0 连续，指合法的 h→0h\to0 时 f(x0+h)→f(x0)f(x_0+h)\to f(x_0)，即函数增量趋0。若内点可导，则

f(x0+h)−f(x0)=f(x0+h)−f(x0)h h⟶f′(x0)⋅0=0.f(x_0+h)-f(x_0)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h\,h\longrightarrow f^{\prime}(x_0)\cdot0=0.

理由不仅是符号相乘：差商有有限极限，所以在足够小非零增量附近有界；有界量乘趋0的 hh 必趋0。于是可导推出同点连续，不连续推出不可导；但连续不反推可导，因为连续没有约束“函数增量除以 hh”的有限极限。

例如 f(x)=∣x∣f(x)=\lvert x\rvert 在0连续，差商 ∣h∣/h\lvert h\rvert/h 在右侧等于1、左侧等于 −1-1，故0处不可导。这是内点反例，与端点只谈单侧的情形不同。

4. 割线、切线和导函数各是什么

曲线上两点 P0=(x0,f(x0))P_0=(x_0,f(x_0)) 与 P=(x0+h,f(x0+h))P=(x_0+h,f(x_0+h)) 的割线斜率就是差商。若 ff 在 x0x_0 可导，割线斜率趋有限的 f′(x0)f^{\prime}(x_0)，以此方向通过 P0P_0 得切线

y−f(x0)=f′(x0)(x−x0).y-f(x_0)=f^{\prime}(x_0)(x-x_0).

切线由局部极限方向定义，不能解释为与整条曲线只有一个公共点。导数0给水平切线；某些曲线可能有竖直切线却没有有限导数，所以“不可导”不能等同“没有任何几何切线”。上式只处理有限斜率情形。

记号对象图象含义
f(x0)f(x_0)固定点的函数值原曲线高度
f′(x0)f^{\prime}(x_0)固定点的一个数原曲线该点切线斜率
f′(x)f^{\prime}(x)导函数把每个可导点的斜率配给横坐标

导函数的定义域仅为原定义域中普通导数存在的点，可能更小。原曲线切点 (x0,f(x0))(x_0,f(x_0)) 与导函数图象点 (x0,f′(x0))(x_0,f^{\prime}(x_0)) 不可混同。求导函数是让定义中的合法基点可变，求点导数才再代指定值。

二、考点 方法与例题

方法一：先判区间还是点，再写四步

  1. 看所问是固定区间的平均，还是固定点的瞬时；先核定义域、单位与单侧或双侧。
  2. 平均问题分别算两端函数值，再除完整横距。瞬时问题先写完整增量 f(x0+h)−f(x0)f(x_0+h)-f(x_0)，不能只减去一个常数项。
  3. 对 h≠0h\ne0 展开、通分或因式分解，化简差商，再取极限。约掉 hh 的依据是此时非零。
  4. 回答数值、单位和方向。已学求导公式且已满足可导条件时可先求导再代值，但不能把区间平均值换成点导数。

方法二：实际增量与纸面分母必须配对

题目已保证 ff 在 x0x_0 可导时，固定 c≠0c\ne0 有

f(x0+ch)−f(x0)h=cf(x0+ch)−f(x0)ch⟶cf′(x0).\frac{f(x_0+ch)-f(x_0)}h =c\frac{f(x_0+ch)-f(x_0)}{ch}\longrightarrow c f^{\prime}(x_0).

若 c=0c=0，分子恒0，直接得极限0，不写除以 cc。反向增量如 −h-h 必须连同负号配分母。

对称分子先加减同一基点值：

f(x0+h)−f(x0−h)h=f(x0+h)−f(x0)h+f(x0−h)−f(x0)−h.\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}h =\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h+\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}.

两项分别趋 f′(x0)f^{\prime}(x_0)，和为两倍。普通可导是这里的前提，仅有对称差商极限不能反推普通可导。

方法三：从指定切点的切线读两个量

先化直线为斜截式，斜率给 f′(x0)f^{\prime}(x_0)；再把已指定的切点横坐标 x0x_0 代直线，得到 f(x0)f(x_0)。这是两项条件，不是同一个数。若仅说直线“经过某点”，该点未必在曲线上，须另设切点，不能直接把经过点横坐标代作求导位置。

例题 01 平均变化率不能漏横距

题目

若函数f(x)=x2−xf\left( x\right)={x}^{2}-x，则函数f(x)f\left( x\right)从x=1x=1到x=3x=3的平均变化率为（    ）

A．6 B．3 C．2 D．1

答案与解析

解析

f(1)=0f(1)=0，f(3)=6f(3)=6；横距为2，所以平均变化率 (6−0)/(3−1)=3(6-0)/(3-1)=3。6只是函数值变化，不是所问；正确选B。

本题结论

B，平均变化率为3。

例题 02 用非零差商求一点的瞬时变化率

题目

函数f(x)=x2f\left( x\right)={x}^{2}在x=2x=2处的瞬时变化率为（    ）

A．−2-2 B．22 C．44 D．−4-4

答案与解析

解析

对 h≠0h\ne0，

(2+h)2−4h=4h+h2h=4+h⟶4.\frac{(2+h)^2-4}{h}=\frac{4h+h^2}{h}=4+h\longrightarrow4.

所以 f′(2)=4f^{\prime}(2)=4，选C。f(2)=4f(2)=4 与点导数在本题恰巧相同，但各自意义不同。

本题结论

C，点导数为4。

例题 03 同一位移模型中的瞬时与平均

题目

若质点AA运动的位移SS（单位：mm）与时间tt（单位：ss）之间的函数关系是S(t)=−2t(t≥1S\left( t\right)=-\frac{2}{t}(t\ge 1），那么该质点在t=t= 3s3s时的瞬时速度和从t=1st=1s到t=3st=3s这两秒内的平均速度分别为（    ）

A．−23,29-\frac{2}{3},\frac{2}{9} B．23,29\frac{2}{3},\frac{2}{9} C．29,−23\frac{2}{9},-\frac{2}{3} D．29,23\frac{2}{9},\frac{2}{3}

答案与解析

解析

3是定义域内点，充分小的正、负 hh 都合法，且

−2/(3+h)+2/3h=23(3+h)⟶29.\frac{-2/(3+h)+2/3}{h}=\frac{2}{3(3+h)}\longrightarrow\frac29.

故3秒瞬时速度为 2/9 m/s2/9\ \mathrm{m/s}。从1到3秒，位移差 −2/3−(−2)=4/3-2/3-(-2)=4/3 米，平均速度 (4/3)/2=2/3 m/s(4/3)/2=2/3\ \mathrm{m/s}。按题干先瞬时后平均，选D；位移虽为负，当前速度却为正。

本题结论

D：瞬时速度 2/9 m/s2/9\ \mathrm{m/s}，平均速度 2/3 m/s2/3\ \mathrm{m/s}。

例题 04 对称差商必须拆回基点

题目

若f′(2)=4{f}^{\prime}\left( 2\right)=4，则lim⁡Δx→0f(2+Δx)−f(2−Δx)Δx={\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2-\Delta x)}{\Delta x}=（    ）

A．2 B．4 C．6 D．8

答案与解析

解析

补上 f(2)f(2) 后，两项分别为 [f(2+h)−f(2)]/h[f(2+h)-f(2)]/h 与 [f(2−h)−f(2)]/(−h)[f(2-h)-f(2)]/(-h)，都趋已知的4，因此总极限为8，选D。原解将除以 2h2h 的对称差商极限认作点导数，在本题因普通可导已知才成立，不是无条件定义。

本题结论

D，极限为8。

例题 05 反向增量带来负倍率

题目

设f(x)f\left( x\right)在RR上的导函数为f′(x){f}^{\prime}\left( x\right)，若lim⁡Δx→0f(3−Δx)−f(3)3Δx=2{\lim }_{\Delta x\to 0}\frac{f(3-\Delta x)-f(3)}{3\Delta x}=2，则f′(3)={f}^{\prime}\left( 3\right)=（    ）

A．−2-2 B．2 C．−6-6 D．6

答案与解析

解析

实际增量为 −h-h，分母 3h3h 是它的 −3-3 倍，因此

2=lim⁡h→0f(3−h)−f(3)3h=−13f′(3).2=\lim_{h\to0}\frac{f(3-h)-f(3)}{3h}=-\frac13 f^{\prime}(3).

解得 f′(3)=−6f^{\prime}(3)=-6，选C。题设已给实数域上的导函数，存在性有保证；不能只看分母的3而漏负号。

本题结论

C，f′(3)=−6f^{\prime}(3)=-6。

例题 06 切线斜率与切点高度分别读

题目

已知函数f(x)f\left( x\right)在点x=−1x=-1处的切线方程为x+y−1=0x+y-1=0，则f′(−1)+f(−1)={f}^{\prime}\left( -1\right)+f\left( -1\right)=（    ）

A．−1-1 B．00 C．11 D．22

答案与解析

解析

直线为 y=−x+1y=-x+1，故 f′(−1)=−1f^{\prime}(-1)=-1。题干明确“在 x=−1x=-1 处”，代该切点横坐标得 f(−1)=2f(-1)=2，相加为1，选C。若只是“经过 (−1,2)(-1,2)”，便不能据此断定切点横坐标是 −1-1。

本题结论

C，所求和为1。

三、坑点 辨析与纠错

1. 把对称极限当成普通导数

对 f(x)=∣x∣f(x)=\lvert x\rvert，[f(h)−f(−h)]/(2h)=0[f(h)-f(-h)]/(2h)=0 对所有非零 hh 都成立，对称极限存在；但左右普通差商分别为1和 −1-1。因此“对称极限存在”远弱于“普通导数存在”，不能反向套用方法二。

2. 端点连续也可能没有有限右导数

对 f(x)=2x−1f(x)=\sqrt{2x-1}，定义域为 [1/2,+∞)[1/2,+\infty)。在端点 1/21/2，仅有 h>0h>0：函数增量 2h→0\sqrt{2h}\to0，说明相对于原定义域右侧连续；但

f(1/2+h)−f(1/2)h=2h⟶+∞.\frac{f(1/2+h)-f(1/2)}h=\frac{\sqrt2}{\sqrt h}\longrightarrow+\infty.

所以没有有限右导数，普通双侧导数的左邻域前提也不具备。不能把内点求导公式代到端点，也不能把这个端点例子混称内点反例。含此函数的完整四项求导辨析见求导法则。

3. 固定导数值是常数，导函数才随变量变化

若关于 xx 的等式含 f′(1)f^{\prime}(1)，先记作常数 CC。它未知不等于它随 xx 变化；对 CC 求导为0，对 CxCx 求导为 CC。可先求导，再在所得等式中代1，用 C=f′(1)C=f^{\prime}(1) 建自洽方程，完整例见定点导数作为系数。

若真含 f′(x)f^{\prime}(x)，再次求导需要二阶导数存在；若含 f′(u(x))f^{\prime}(u(x))，还需相应复合求导条件与内层因子。不能把前者当常数，也不能把固定值再求成二阶导数值。

4. 趋于无穷大不是局部瞬时变化

差商化简应保留原趋近方向；局部趋0与增量趋无穷大是不同的极限过程。

辨析 01 核验位移模型中的差商极限

题目

某物体的运动方程为s(t)=4t2+2s\left( t\right)=4{t}^{2}+2（位移单位：mm，时间单位：ss），若v=lim⁡Δt→∞s(3+Δt)−s(3)Δt=24m/sv={\lim }_{\Delta t\to \infty }\frac{s\left( 3+\Delta t\right)-s\left( 3\right)}{\Delta t}=24m/s，则下列说法中正确的是（    ）

A．24m/s24m/s是物体从开始到3s3s这段时间内的平均速度

B．24m/s24m/s是物体从3s3s到(3+Δt)s\left( 3+\Delta t\right)s这段时间内的速度

C．24m/s24m/s是物体在3s3s这一时刻的瞬时速度

D．24m/s24m/s是物体从3s3s到(3+Δt)s\left( 3+\Delta t\right)s这段时间内的平均速度

答案与解析

解析

实际差商为

4(3+h)2+2−(4⋅9+2)h=24+4h(h≠0).\frac{4(3+h)^2+2-(4\cdot9+2)}h=24+4h\qquad(h\ne0).

按原题 h→+∞h\to+\infty，差商趋 +∞+\infty，不能等于24，因此原题前提不成立。这个错误等式不能作为瞬时速度的推理依据。不过，仅由位移模型独立求导，S′(t)=8tS^{\prime}(t)=8t，所以 S′(3)=24 m/sS^{\prime}(3)=24\ \mathrm{m/s}，C的物理陈述本身为真，不依赖改写题干。

A所说从开始到3秒的平均速度为 (38−2)/3=12 m/s(38-2)/3=12\ \mathrm{m/s}；固定非零 hh 时区间平均速度是 24+4h24+4h 而非24，B、D不能据此成立。C可由模型独立验证；将题干增量趋无穷大改为趋0后，才成为前提一致的标准单选题。

本题结论

原趋无穷大等式矛盾；独立由模型可验证C陈述为真。改为趋0后，题设前提一致。