测距与测高：把方向转成三角形内角

约 3578 字大约 12 分钟

方位角描述目标相对当地北向的位置，仰俯角描述视线相对水平线的倾斜。先辨观测点、射线方向与所在平面，再连接可测基线和未知长度；求出的三角形内角还不一定是最终要回答的方向角。

一、知识点概念与依据

1. 方位角从北向顺时针量取

方位角从观测点的正北射线起，顺时针转到目标射线。用 $0^\circ\le\theta<360^\circ$ 可唯一表示一个方向：北、东、南、西依次为0°、90°、180°、270°。若采用含360°端点的写法，则0°与360°都表示北向，不是两个不同方向。

方向角先说基准方向，再说偏转方向。若 $0<\alpha<90^\circ$ ：

方向角	对应方位角	量角起点与方向
北偏东α	$\alpha$	从北朝东
南偏东α	$180^\circ-\alpha$	从南朝东
南偏西α	$180^\circ+\alpha$	从南朝西
北偏西α	$360^\circ-\alpha$	从北朝西

正东等轴向可直接说明，不必硬写“偏”角。北偏东α与正东的夹角为 $90^\circ-\alpha$ ，并非α。

2. 同一点的两条射线，才能直接求夹角

若两射线从同一观测点出发，方位角为 $\theta_1,\theta_2$ ，先求 $d=|\theta_1-\theta_2|$ ，较小夹角为 $\min(d,360^\circ-d)$ 。若两方向分别在不同观测点给出，先借平行北向线转移方向，不能不加判断直接相减。

反向射线的方位角需加180°再按360°归一。三角形内角取从当前顶点指向另两顶点的射线，航行到该点的前进方向与返回上一点的射线恰相反；因此航向变化量常要取补角才能成为内角。

3. 仰角、俯角以水平线为基准

视线与观测点水平线，在同一个铅垂平面内量得的角：向上为仰角，向下为俯角。不是视线与竖直线的夹角，也不是目标顶点处的三角形内角。

观测点与目标处的水平线平行，俯视与反向仰视的角相等，来自平行线内错角。若目标高出观测点 $h$ ，水平距离 $d>0$ ，仰角 $\alpha\in(0,90^\circ)$ ，则直角三角形中

h=d\tan\alpha.

这里h是相对观测点的高度差。仪器离地高 $h_0$ 且两处地面同高时，目标离地总高为 $h_0+d\tan\alpha$ ；若两处地面异高，还须按高低关系恢复相应高度差。

4. 一条基线可以连接两个平面中的计算

基线是可直接测长的线段，用它把可测角连到不可直接测的目标长度。测高常先在水平面三角形求水平距离，再进入铅垂直角三角形求高度。这两步共用一条水平线段，不是把水平角和仰角拼进同一个三角形。

直角测塔模型要求塔竖直、塔底与测量点地面同高，且已求线段确为水平距离。只有“同一平面”未必足够，斜面、斜塔或非零仪器高度都须单独处理。基线长度与测量精度还受测角误差和几何布局影响，“基线越长一定越精确”不是无条件结论。

二、考点方法与例题

1. 航线转折，从顶点重新辨认射线

先在每个观测点标北向、东西向与目标射线，明确三角形用的是前进方向还是反向射线。两边夹角用余弦定理，两角一边用正弦定理。全程统一单位，先保留精确值，最后按题目精度近似，避免连续舍入。

例题 01 转向后的直达距离

题目

一艘海轮从港口A出发，沿着正东方向航行50n mile后到达海岛B，然后从海岛B出发，沿着北偏东30°方向航行70n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C，那么这艘海轮需要航行的距离大约是（）

A．62.4n mile B．85.0n mile C．104.4n mile D．116.0n mile

答案与解析

解析

从B出发的BA朝西，而不是原航向朝东。

从B看A是正西，BC北偏东30°，故 $\angle ABC=90^\circ+30^\circ=120^\circ$ 。航向变化为60°，但它不是三角形B内角。

AC^2=50^2+70^2-2\cdot50\cdot70\cos120^\circ=10900.

取长度正根， $AC=10\sqrt{109}\approx104.4$ 海里，选C。A约62.4来自误用60°使交叉项为负3500；B85.0、D116.0也不满足原方向对应的余弦式。题中n mile表示海里，不能与公里混加。

本题结论

选C，直达距离约104.4海里。

例题 02 两方位确定测距三角形

题目

已知点 $A$ 在点 $B$ 的正西方向，为了测量 $A, B$ 两点之间的距离，在观测点 $C$ 处测得 $A$ 在 $C$ 的北偏西 $15^{\circ}$ 方向， $B$ 在 $C$ 的北偏东 $45^{\circ}$ 方向，且 $B, C$ 两点之间的距离为20米，则 $A,B$ 两点之间的距离为（）

A． $\left( 30\sqrt{2}-10\sqrt{6}\right)$ 米 B． $\left( 30\sqrt{2}+10\sqrt{6}\right)$ 米

C． $\left( 30-10\sqrt{3}\right)$ 米 D． $\left( 30+10\sqrt{3}\right)$ 米

答案与解析

解析

虚线为C处北向，A与B处于同一东西线上。

在C处两射线分居北向两侧，所以 $\angle ACB=15^\circ+45^\circ=60^\circ$ 。A在B正西，故AB朝东；从A看C是C看A的反向，即南偏东15°，与正东的夹角为75°，所以 $\angle BAC=75^\circ$ 。

由正弦定理，

\frac{AB}{\sin60^\circ}=\frac{BC}{\sin75^\circ},\qquad AB=\frac{10\sqrt3}{\sin75^\circ}.

$\sin75^\circ=(\sqrt6+\sqrt2)/4$ ，故

AB=\frac{40\sqrt3}{\sqrt6+\sqrt2} =10\sqrt3(\sqrt6-\sqrt2) =30\sqrt2-10\sqrt6\text{米}.

选A。B把共轭有理化的减号写成加号；C、D也不满足所得正弦比例。

本题结论

选A， $AB=(30\sqrt2-10\sqrt6)$ 米。

2. 先求水平距离，再用观测点处的仰角

确认水平基线、塔底与观测点的位置，先在水平三角形补第三角。
用已知基线与其对角列正弦比例，求“当前仰角观测点到塔底”的水平距离。
在该观测点与塔顶、塔底组成的铅垂三角形中，用高度差等于水平距离乘仰角正切。
恢复仪器高或地面高差，最后核单位与题目模型条件。

例题 03 水平基线连接塔高

题目

如图，某数学建模活动小组为了测量河对岸的塔高 $AB$ ，选取与塔底B在同一平面的两个测量基点C与D．现测量得 $\angle BCD=30^{\circ},\angle BDC=120^{\circ},CD=10m$ ，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高 $AB=$ （）

A．20m B． $20\sqrt{3}m$ C．30m D． $30\sqrt{3}m$

答案与解析

解析

按图中的水平地面、塔竖直模型，B、C、D在水平面内且 $AB\perp BC$ 。题干只写“同一平面”；若理解成任意斜平面，这个垂直关系不能据此推出，以下计算采用图示的水平测量模型。

先在水平三角形BCD中求 $\angle CBD=180^\circ-30^\circ-120^\circ=30^\circ$ 。正弦定理给

BC=\frac{CD\sin120^\circ}{\sin30^\circ}=10\sqrt3\text{米}.

再在铅垂直角三角形ABC中，C处仰角60°，所以 $AB=BC\tan60^\circ=30$ 米，选C。A20米、B $20\sqrt3$ 米、D $30\sqrt3$ 米均不等于两段相连计算的结果；不能跳过水平距离直接以CD乘正切。

本题结论

按图示水平地面、竖直塔模型，选C，塔高30米。

例题 04 分别求测量距离和塔高

题目

如图，测量河对岸的塔高 $AB$ 时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测得 $\angle BCD=60^{\circ}$ ， $\angle BDC=75^{\circ}$ ， $CD=60m$ ，并在点C处测得塔顶A的仰角 $\angle ACB=30^{\circ}$ .

(1)求B与D两点间的距离；

(2)求塔高 $AB$ .

答案与解析

解析

（1）水平三角形BCD中， $\angle CBD=180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ$ 。BD对60°，CD对45°，因此

BD=\frac{60\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=30\sqrt6\text{米}.

（2）仰角是在C测得，所需水平距离是BC，不是第一问的BD。BC对75°，所以

BC=\frac{60\sin75^\circ}{\sin45^\circ} =\frac{60(\sqrt6+\sqrt2)/4}{\sqrt2/2}=30+30\sqrt3\text{米}.

塔竖直且C与B同一水平面，铅垂三角形ABC中

AB=BC\tan30^\circ=(30+30\sqrt3)\frac{\sqrt3}3=30+10\sqrt3\text{米}.

两小问连在同一水平三角形上，但各自使用的边与对角不同，不能把前一问的长度直接当后一问的水平距离。

本题结论

（1） $BD=30\sqrt6$ 米；（2） $AB=30+10\sqrt3$ 米。

3. 求出内角后，还要还原当地方向

航行前后的方位都属于各自观测点。先利用平行北向线、反向射线与角和求长度及三角形内角，再把该内角转回当前点的北向；最后检查东、西象限，不能把一个钝内角直接写成“北偏东某钝角”。

例题 05 航行后重新确定目标方向

题目

一艘渔船航行到 $A$ 处时看灯塔 $B$ 在 $A$ 的南偏东30°，距离为6海里，灯塔 $C$ 在 $A$ 的北偏东60°，距离为 $6\sqrt{3}$ 海里，该渔船由 $A$ 沿正东方向继续航行到 $D$ 处时再看灯塔 $B$ 在其南偏西30°方向，则此时灯塔 $C$ 位于渔船的（）

A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向

C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向

答案与解析

解析

A与D的竖线平行，分别表示两处的南北方向。

A处AB南偏东30°，故与正东AD的夹角60°；D处DB南偏西30°，与正西DA也成60°，所以ABD为等边三角形， $AD=AB=6$ 海里。

A处AC北偏东60°，与正东AD成30°。三角形ACD中

CD^2=(6\sqrt3)^2+6^2-2(6\sqrt3)6\cos30^\circ=36,

故 $CD=6$ 海里。角D对边AC，继续用余弦定理，

\cos\angle CDA=\frac{AD^2+CD^2-AC^2}{2AD\cdot CD}=\frac{36+36-108}{72}=-\frac12.

所以内角 $\angle CDA=120^\circ$ ，不是只凭示意图目测。C在东西线AD的北侧，DA朝西，DC从正西往北侧转120°，因此相对正东成60°、相对正北向东偏30°，选D。

A的偏角错误；B、C都在西侧，与DC位于D东北侧不符。也可核坐标：取A为原点、东为x正向、北为y正向，则 $C=(9,3\sqrt3),D=(6,0)$ ，差向量东北且东移/北移为 $1/\sqrt3$ ，与北偏东30°一致。

本题结论

选D，灯塔C位于渔船的北偏东30°方向。